جیب
جِیْب، تابعی ریاضی، تقریباً معادل تابع سینوس در مثلثات امروزی و مهم‌ترین تابع مثلثاتی نجوم در دورۀ اسلامی. جیب که امروزه آن را با Sin نمایش می دهند (نک : دنبالۀ مقاله)، در وهلۀ اول برای کمان تعریف می‌شود و در ریاضیات دورۀ اسلامی دو تعریف معادل داشته است: الف ـ نیمی از وترِ دو برابرِ هر کمان (نک : ابن یونس،گ 103 رو؛ خوارزمی، 228)؛ ب ـ عمودی که از یک طرف کمان، به قطرِ گذرنده از طرف دیگر کمان، وارد می‌شود (نک : بیرجندی، ابعاد ... ، 32؛ نصیرالدین، تحریر مانالاوس، 72). زیج حبش حاسب کهن‌ترین متنی است که این تعریف در آن آمده است (نک : «زندگی نامه ... »، V / 612). جیب هر زاویه با جیب کمان روبه‌رو به آن زاویه برابر است. برخی از ریاضی دانان، مانند ابوریحان بیرونی ( التفهیم، 9، استیعاب ... ، 103) و نصیرالدین طوسی (همانجا)، هر دو تعریف را یکسان دانسته و از آنها در آثار خود استفاده کرده‌اند. اما برخی تعریف اول را خالی از اشکال ندانسته‌اند، زیرا طبق این تعریف کمانهای بزرگ‌تر از °180 و کوچک‌تر از °360 دارای جیب نخواهند بود؛ چون دارای کمان دو برابر خود نیستند (میرم چلبی، گ 47 رو؛ نیز نک : نصیرالدین، همانجا). برخی نیز برای رفع این ایراد، راهی برای محاسبۀ دو برابر کمان پیشنهاد کرده‌اند؛ بدین ترتیب که هرگاه دو برابر کمانی از کل دایره بزرگ‌تر باشد، کل دایره را از آن کم می‌کنیم؛ باقی‌مانده، معادل دو برابر کمان مورد نظر است (میرم چلبی، همانجا). در ریاضیات دوران اسلامی، جیب مستوی (فخرالدین، 361)، جیب راست (بیرونی، التفهیم، همانجا) و جیب مبسوط («زندگی‌نامه»، همانجا) معادل جیب به کار می‌رفته‌اند.
در متون ریاضی و نجوم دوران اسلامی، جیب °90 را که برابر شعاع دایره است، «جیب کل»، «جیب مطلق» (مسعودی، 7)، «جیب اعظم» (ابن یونس، گ 63 رو)، و «جیب بزرگ‌تر» (بیرونی، همانجا) می‌نامیدند. از دیگر توابعی که با جیب رابطه دارند عبارت‌اند از:
1. جیب معکوس (همو، استیعاب، 104)، جیب منکوس (همو، القانون ... ، 1 / 328) و «جیب باشگونه» (همو، التفهیم، همانجا)، که به دو صورت تعریف می‌شود: الف ـ سهم دو برابر یک کمان (همانجا)، منظور از سهم، خطی است که وسط هر کمان را به وسط وتر متناظر با آن وصل می‌کند. البته بسیاری از ریاضی‌دانان مسلمان «سهم» را به جای جیب معکوس به کار برده‌اند. بیرونی سبب این نام‌گذاری را اختصار در کلام و آزاد کردن جیب مستوی از قید مستوی بیان کرده‌اند ( القانون، همانجا). ب ـ پاره خطی است میان آغاز کمان و آن سرجیب که مقابل آغاز کمان است (همو، التفهیم، همانجا؛ قوشچی، گ27 پشت). جیب معکوس در واقع قسمتی از قطر، و بیشترین مقدار آن برابر تمام قطر است. بیرونی هر دو تعریف را یکسان می‌داند (همانجا)، اما میرم چلبی به تعریف اول اشکالی شبیه به تعریف نخست جیب وارد کرده است. به نظر او این مشکل را از راه حلی که برای جیب پیشنهاد شده است، نمی‌توان حل کرد (همانجا).
2. جیبِ تمام (قوشچی، گ 28 پشت) که امروزه به Cos نمایش داده می‌شود، تقریباً معادل کسینوس در مثلثات جدید است: و با دو روش معادل تعریف می‌شده است: الف ـ جیب تمام هر کمان برابر با جیب متمم آن کمان نسبت به ربع دایره است (سنجر کمالی، گ 34 پشت؛ نصیرالدین، تحریر المجسطی، گ 6 رو؛ به بیان امروزی: Cosα=Sin (90°-α)). ب ـ اگر مربع جیب کمانی را از مربع شعاع دایرۀ مثلثاتی کم کنیم، جذر باقی‌مانده، جیب تمام آن کمان است (میرم چلبی، گ 47 پشت؛ به بیان امروزی: ( Cosα=) (نک : شکل 1).
پیدایش مفهوم جیب
منجمان یونانی در محاسبات خود از تابعی به نام وتر استفاده می کردند. منظور از وترِ هر زاویۀ مرکزی، وترِ کمان روبه‌رو به آن است. از این رو، وتر که امروزه با Crd نشان داده می‌شود، از رابطۀ زیر حاصل خواهد شد:
Crd2α= 2Sin α
احتمالاً، اولین جدولهای وتر را هیپارخوس و منلائوس ارائه کردند (اسمیث، II / 614-615؛ هیث، II / 257-261). البته هیچ‌یک از این دو جدول باقی نمانده‌اند. کهن‌ترین جدول وترهایی که باقی مانده، از آن بطلمیوس است که به احتمال زیاد بیشترِ آن بر پایۀ جدول وتر هیپارخوس تنظیم شده بود (همو، II / 259)؛ اما هندیان از نصف وتر استفاده کردند. آنان وتر را «جیبا» یا «جیوا»، و نصف وتر را «جیباردهه» می‌گفتند. بیرونی می‌نویسد: «هندوان که غیر از نصف جیب از چیز دیگری استفاده نمی‌کنند، اسم کل (وتر) را، به سبب تخفیف در لفظ، به جزء (نصف وتر) اطلاق می‌کنند»( القانون، 1 / 271).
نخستین جدول جیبا در کتاب سوریه سیدهانته آمده است («زندگی‌نامه»، همانجا). با ترجمۀ این اثر، مسلمانان با مفهوم نیم وتر آشنا شدند و احتمالاً نخستین مترجمان با تحریف لغت «جیبا» یا «جیوا»، لفظ عربی «جیب» را به جای آن برگزیدند. در روایتی از زیج خوارزمی که در دست است، جدولهای جیب وجود دارد.
هندیان افزون بر جیب، توابع مثلثاتی دیگری را نیز تعریف کرده بودند. توابع مثلثاتی «اوتکراماجیا» و «کُتی جیا» از این نوع اند که مسلمانان این دو تابع را با نامهای «جیب معکوس» و «جیب تمام» در آثار خود آورده‌اند (نک : اسمیث، II / 619).
جایگزین شدن وتر با جیب در دوران اسلامی اهمیت دیگری هم دارد و آن جلب شدن نظر ریاضی‌دانان مسلمان به بررسی این تابع مثلثاتی است. یکی از نتایج این امر کشف قضیۀ سینوسها در سدۀ 4ق است که نه تنها محاسبات مثلثاتی را بسیار ساده‌تر کرد، بلکه گام مهمی در جهت استقلال مثلثات از هندسه و نجوم بود (نک : ه د، شکل مغنی).
انتقال به اروپا
آدلار باثی تهذیبی را که مسلمۀ مجریطی از زیج خوارزمی فراهم آورده بود، در 1126م / 520 ق، به لاتینی ترجمه کرد و به احتمال بسیار نخستین آشنایی اروپاییان با توابع مثلثاتی و به‌خصوص جیب، از طریق این ترجمه بوده است (سارتن؛ II / 125). در حدود سال 1150م / 545 ق، رابرت چستری زیجی بر اساس زیج بتانی و زرقالی برای نصف‌النهار لندن نوشت و ترجمۀ لاتینی آلارد باثی از تهذیب زیج خوارزمی را نیز برای همین نصف‌النهار تنظیم کرد. او نخستین بار نام سینوس را به جای واژۀ جیب به کار برد (همو، II / 175-176). ظاهراً منشأ ترجمۀ جیب به سینوس، عربی شمردن این واژه و غفلت از اصل هندسی آن بوده است.
تفاوت جیب با سینوس
با توجه به تعاریف جیب در ریاضیات دورۀ اسلامی، می‌توان گفت که جیب هر زاویه یا کمان، بخشی از شعاع دایرۀ مثلثاتی است، پس جیب دارای بُعد طول است (در شکل 2 Sinα=CB). اما آنچه امروزه به عنوان سینوس زاویه به کار می رود، نسبت میان دو طول است. از این رو یک کمیّتِ عددی، و بدون بعد است (در شکل 2 sinα= ). به همین سبب مورخان ریاضی جیب را با Sin و سینوس را با علامتی که احتمالاً هریگن، ریاضی‌دان فرانسوی نخستین بار به کار برده است، یعنی sin نشان می‌دهند (اسمیث، II / 618). پس میان جیب و سینوس هر زاویه‌ای رابطه‌ای به صورت Sinα=Rsinα برقرار است که در آن R شعاع دایره‌ای است که جیب در آن محاسبه می‌شود.
ریاضی‌دانان هندی برای شعاع دایرۀ مثلثاتی مقادیر مختلفی را اختیار کرده‌اند. مثلاً بر‌همگوپته شعاع دایرۀ مثلثاتی را بر مبنای برابر با 270 / 3 و در جایی دیگر برای محاسبۀ میل دائرة‌البروجی 150 در نظر می‌گیرد که در این صورت سینوس میل دائرة البروج مقداری نزدیک به واحد خواهد بود (کندی،19). همچنین آریبهطه مقدار 438 / 3 را برای شعاع دایرۀ مثلثاتی در‌نظر می‌گیرد (ص 19). هندیها مقادیر 120و 000‘1 را نیز برای اندازۀ شعاع دایرۀ مثلثاتی به‌کار می‌برده‌اند (کینگ، 20). اما مسلمانان در بیشتر موارد مانند دانشمندان یونان قطر دایرۀ مثلثاتی را 120 جزء و محیط آن را °360 در‌نظر می‌گرفتند و جیب را در دستگاه شصت‌‌گانی محاسبه می‌نمودند. در برخی از تألیفات دورۀ اسلامی شعاع دایرۀ مثلثاتی برابر با واحد در نظر گرفته شده است. مثلاً بیرونی در مقالۀ سوم القانون قطر دایره را 2 واحد در‌نظر‌گرفته و هر واحد را به 60 دقیقه تقسیم کرده است (1 / 305- 325). نصیرالدین طوسی نیز در رسالۀ کشف القناع به این مطلب اشاره کرده و در برهانی که برای قضیۀ سینوسها ارائه کرده، شعاع را واحد در نظر گرفته است (گ117 رو).
جدول جیب و روش محاسبۀ آن
بخشی از زیجهای دورۀ اسلامی به جدولهای توابع مثلثاتی، به‌خصوص جیب که برای مقاصد نجومی کاربرد فراوان دارند، اختصاص داشت. این جدولها شامل جیب زوایای صفر تا °90 یا °360 بودند.
بطلمیوس در مجسطی ابتدا وتر زوایایی را که محاسبۀ آنها راحت‌تر بود، محاسبه می‌کند و سپس با استفاده از چند قضیۀ هندسی وتر زوایای کوچک‌تر را به دست می‌آورد. این روش به محاسبۀ وتر یک‌و‌نیم درجه منتهی می‌شود. سپس با استفاده از روشی تقریبی وتر نیم درجه را محاسبه می کند. او با به دست آوردن رابطۀ 4 / °3 Crd < 3° / 2 Crd 1°< 4/ 3 Crd به طور تقریب وتر یک درجه را توانست محاسبه کند (ص 48-56).
در دورۀ اسلامی برای تنظیم جدول جیب از روش مشابهی استفاده می‌شد که این روش به محاسبۀ جیب یک‌درجه ختم می‌شد. مسئلۀ محاسبۀ جیب یک‌درجه با یکی از کهن‌ترین مسائل ریاضیات یونان باستان، یعنی تثلیث زاویه گره خورده، و ذهن بسیاری از ریاضی‌دانان را معطوف به خود کرده بود. آنان که از این مسئله با روشهای هندسی و مثلثاتی مأیوس شده بودند، به روشهای تقریبی روی آوردند (بیرجندی، شرح ... ، گ 46 پشت). احتمالاً الهام بخش همۀ روشهای تقریبی، روش بطلمیوس بوده است.
در میان ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، بهترین تقریب برای اندازۀ جیب یک‌درجه را غیاث‌الدین جمشید کاشانی به دست آورد. او با بهره‌گیری از یک سری مقدمات هندسی و مثلثاتی به معادلۀ Sin3 = 3x + x3 دست یافت که در آن x=Sin1° است. غیاث‌الدین جمشید با حل این معادله به روش تکرار، جیب یک درجه را با دقت 9 رقم شصت‌‌گانی محاسبه کرد. قاضی‌زادۀ رومی و الغ‌بیگ نیز روشهای مشابهی برای محاسبۀ جیب یک‌درجه به کار بردند و هر یک رساله‌ای در این باره نوشتند (آبُئه، 354-359؛ سوادی، سراسر مقدمه).
مآخذ
ابن یونس، علی، الزیج الکبیر الحاکمی، نسخۀ خطی کتابخانۀ لیدن، شم 143؛ بیرجندی، عبدالعلی، ابعاد و اجرام، به کوشش محسن ناجی نصر‌آبادی، بیرجند، 1381ش؛ همو، شرح زیج الغ بیگ، نسخۀ خطی دانشگاه تهران، شم 8421؛ بیرونی، ابوریحان، استیعاب الوجوه الممکنة فی صنعة الاصطرلاب، به کوشش محمد اکبر جوادی حسینی، مشهد، 1380ش؛ همو، التفهیم، به کوشش جلال‌الدین همایی، تهران، 1352ش؛ همو، القانون المسعودی، حیدر آباد دکن، 1373ق / 1954م؛ خوارزمی، محمد، مفاتیح العلوم، به کوشش فان فلوتن، لیدن، 1968م؛ سنجر کمالی، محمد، زیج اشرفی، نسخۀ خطی کتابخانۀ ملی پاریس، شم 1328؛ سوادی، فاطمه، مقدمه بر رسالة فی استخراج جیب درجة واحدۀ قاضی‌زادۀ رومی، تهران، 1387ش؛ غیاث‌الدین جمشید کاشانی، زیج خاقانی در تکمیل زیج ایلخانی، نسخۀ خطی کتابخانۀ حمیدیۀ ترکیه، شم 6124؛ فخرالدین رازی، جامع العلوم، به کوشش علی آل داود، تهران، 1382ش؛ قوشچی، علی، شرح زیج الغ بیگ، نسخۀ خطی دانشگاه تهران، شم 3420؛ مسعودی غزنوی، محمد، جهان دانش، به کوشش جلیل اخوان زنجانی، تهران، 1382ش؛ میرم چلبی، دستور العمل و تصحیح الجدول، میکرو فیلم دانشگاه تهران، شم 3 / 2341؛ نصیرالدین طوسی، «تحریر مانالاوس»، الرسائل، حیدر‌آباد دکن، 1359ق؛ همو، تحریر المجسطی، نسخۀ خطی کتابخانۀ آستان قدس، شم 5452؛ همو، کشف القناع عن اسرار القطاع، نسخۀ خطی کتابخانۀ بادلیان آکسفرد، شم 1498؛ نیز:
Aaboe, A., «Al-KāshĪ’s Iteration Method for the Determination of Sin 1°», Scripta Mathematica, New York, 1954, vol. XX; Âryabhata, The Âryabhatîya of Âryabhata, ed. and tr. W. E. Clark, Chicago, 1930; Dictionary of Scientific Biography, New York, 1976; Heath, Th., A History of Greek Mathematics, Oxford, 1960; Kennedy, E. S., «The History of Trigonometry», Historical Topics for the Mathematics Classroom, 1969; King, D. and J. Samso, «Astronomical Handbooks and Tables from the Islamic World (750-1900): an Interim Report», Suhayl, Barcelona, 2001, no. 2; Ptolemy, The Almagest, tr. and ed. G. J. Toomer, London, 1984; Sarton, G., Introduction to the History of Science, Baltimore, 1950; Smith, D. E., History of Mathematics, New York, 1953.