الکترومغناطیس کلاسیک

میدان الکترومغناطیسی نیروی ${\displaystyle \mathbf{F}}$

${\displaystyle \mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times \mathbf{B}}$

حروف درشت نمایان‌گر بردارها هستند. ${\displaystyle \mathbf{F}}$

میدان الکتریکی E طبق رابطهٔ زیر تعریف می‌شود

${\displaystyle \mathbf{F}=q_0\mathbf{E}}$

که q₀ بار مثبت آزمون، F نیروی الکتریکی وارد بر بار، و E میدان الکتریکی است. در شرایط الکتروستاتیک که ذرات باردار، ساکن هستند، بر پایه قانون کولن برای n ذرهٔ باردار، با استفاده از اصل برهم‌نهی، میدان الکتریکی به صورت زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\sum _{i=1}^n\frac{q_i\left(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i\right)}{{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i\right|}^3}}$

که n تعداد ذرات باردار، q_i بار هر ذره، r_i مکان هر ذره، r فاصله از میدان الکتریکی و ε₀ ثابت گذردهی خلإ است. برای یک توزیع بار گسترده خواهیم داشت

${\displaystyle \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho (\mathbf{r})\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\mathrm{d}V}$

که (ρ (r چگالی بار، و حاصل تقسیم بار الکتریکی کل بر حجم است.

می‌توان کمیتی اسکالر به نام پتانسیل الکتریکی اسکالر φ برای میدان الکتریکی تعریف کرد. در شرایط الکتروستاتیک، به دلیل صفر بودن کرل میدان الکتریکی، منفی گرادیان φ برابر خواهد بود با میدان الکتریکی E یعنی (در حالت الکتروستاتیک):

${\displaystyle \mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\phi }$

از این رابطه می‌توان بُعد E را به صورت V/m (ولت بر متر) نیز نشان داد. برای بار نقطه‌ای ساکن اختلاف پتانسیل الکتریکی از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle \phi =\frac{q}{4\pi {ϵ}_0\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_q\right|}}$

که q بار ذره، r_q موقعیت هر ذره، r فاصله از بار الکتریکی و ε₀ ثابت الکتریکی است. در شرایطی که بار حرکت می‌کند (حالت ناایستا)، این رابطه با پتانسیل لینارد-ویشرت جایگزین می‌شود.

بر اساس قضیه استوکس می‌توان نشان داد که اختلاف پتانسیل بین دو نقطه:

${\displaystyle {\phi }_{\mathbf{E}}=-{\int }_C\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l},}$

که C مسیری است که روی آن از میدان، انتگرال گرفته می‌شود.

برای یک توزیع بار پیوسته خواهیم داشت:

${\displaystyle \phi =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho (\mathbf{r})}{r}\mathrm{d}V}$

که (ρ (r چگالی جریان است حاصل تقسیم بار الکتریکی کل بر حجم می‌باشد.

در معادله‌های ماکسول، ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}}$

میدان الکترومغناطیسی به شکل موج از منبع خود پراکنده می‌شود. این امواج در خلاء با سرعت نور حرکت می‌کنند و طیف وسیعی از طول موج‌ها دارند. نمونه‌هایی از میدان‌های الکترومغناطیسی متحرک (به ترتیب فرکانس): امواج رادیوئی، ریزموج، نور (فروسرخ، مرئی، فرابنفش) پرتو ایکس و اشعه گاما. در فیزیک ذرات این تشعشع الکترومغناطیس نمایانگر برهم‌کنش الکترومغناطیسی ذرات باردار است.

برای به دست آوردن معادلات موج الکترومغناطیسی در خلأ، از معادلات ماکسول استفاده می‌شود. این معادلات چنین به‌دست می‌آیند:

که در آن:

${\displaystyle c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2.99792458\times {10}^8\text{m/s}}$

سرعت نور در خلأ است.

همه روابط الکترومغناطیس کلاسیک به سادگی معادله کولن نیستند. مشکل این است که تغییرات زمانی توزیع‌های بار و جریان، نیازمند مقداری زمان برای حس‌شدن در نقاط دیگر هستند، زیرا انتشار امواج الکترومغناطیسی، زمان می‌برد، چرا که سرعت حرکت این امواج، اگرچه زیاد، اما محدود است. برای یک توزیع بار در حالت کلی و با استفاده از پتانسیل‌های تأخیری می‌توان میدان‌های منابع توزیع‌شده را از معادلات جفیمنکو به‌دست‌آورد:

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \left[\left(\frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}+\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^{2}c}\frac{\mathrm{\partial }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{\mathrm{\partial }t}\right)(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })-\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|c^2}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{\mathrm{\partial }t}\right]{\mathrm{d}}^3{\mathbf{r}}^{\prime }}$

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \left[\frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}+\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^{2}c}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{\mathrm{\partial }t}\right]\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\mathbf{r}}^{\prime }}$

که r' مکان توزیع بار و r نقطه مورد نظر برای میدان است و نیز:

${\displaystyle t_r=t-\frac{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{c}}$

زمان تاخیریافته را نشان می‌دهد.

برای بارهای نقطه‌ای ٬این پتانسیل‌های تأخیری به پتانسیل لینارد-ویشرت معروفند. پتانسیل اسکالر برابر است با:

${\displaystyle \phi =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_q(t_{ret})\right|-\frac{{\mathbf{v}}_q(t_{ret})}{c}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_q(t_{ret}))}}$

و پتانسیل برداری برابر است با:

${\displaystyle \mathbf{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q{\mathbf{v}}_q(t_{ret})}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_q(t_{ret})\right|-\frac{{\mathbf{v}}_q(t_{ret})}{c}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_q(t_{ret}))}}$

که r_q و v_q به‌ترتیب مکان و سرعت بار نقطه‌ای q، در زمان تاخیریافته هستند. با مشتق‌گیری از روابط بالا و با استفاده از روابط کلی برای پتانسیل‌ها، می‌توان میدان‌های ${\displaystyle \mathbf{E}}$

${\displaystyle \mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }V-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\mathrm{\partial }t},}$

${\displaystyle \mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A},}$

نظریه میدان الکترومغناطیسی

• الکترودینامیک کوانتومی