انتگرال‌گیری جزء به جزء

به صورت ساده اگر ‎u = f(x)‎ و ‎v = g(x) ‎ و همچنین دیفرانسیل آن‌ها به صورت du = f '(x) dx و dv = g'(x) dx باشد داریم:

${\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx}$

که به صورت ساده‌تر می‌توان نوشت:

${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}$

با اینکه روش بازگشتی تعریف شده درست است، معمولاً به خاطر سپردن و کاربرد آن دشوار است. غالباً روشی بسیار آسان‌تر با عناوینی نظیر «روش جدولی»، «روش مشتق و انتگرال»، «روش جز به جز پی در پی یا مکرر»، «روش هویساید» یا «تیک تاک توی» به دانشجویان آموخته می‌شود. این روش وقتی یکی از توابع ‎u = f(x)‎ یا ‎v = g(x) ‎ چندجمله‌ای باشند، در بهترین شرایطش قرار می‌گیرد، چونکه پس از مشتق‌گیری‌های پی در پی تابع چندجمله‌ای صفر می‌شود. این روش برای آن دسته از توابع که خود را (پس از چند بار مشتق یا انتگرال‌گیری) تکرار می‌کنند نیز بسیار کاراست.

برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

${\displaystyle \int x^3\cos xdx.}$

انتگرالگیری پی در پی از v (ستون ب)	مشتقات پی در پی از u (ستون الف)
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle x^3}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle 3x^2}$
${\displaystyle -\cos x}$	${\displaystyle 6x}$
${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle 0}$

حال به سادگی نخستین خانه ستون الف را در دومین خانه ستون ب، دومین خانه ستون الف را در سومین خانه ستون ب، و… ضرب کرده، و سپس علامت این جمله‌ها را با شروع از اولی مثبت، منفی، مثبت، منفی و همین‌طور یکی در میان قرار دهید. توجه شود که علامت جمله اول +، دوم - و… است. در شکل زیر نحوه کار را می‌بینید:

نتیجه به شکل زیر خواهد بود:

${\displaystyle (+)(x^3)(\sin x)-(3x^2)(-\cos x)+(6x)(-\sin x)-(6)(\cos x)+C.}$

${\displaystyle =x^3\sin x+3x^2\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$

با کمی دقت می‌توان روش فوق را برای توابعی که پس از چند بار مشتق یا انتگرال‌گیری خود را تکرار می‌کنند، گسترش داد. به مثال زیر دقت کنید:

${\displaystyle \int e^x\cos xdx.}$

انتگرالگیری پی در پی از v (ستون ب)	مشتقات پی در پی از u (ستون الف)
${\displaystyle cosx}$	${\displaystyle e^x}$
${\displaystyle sinx}$	${\displaystyle e^x}$
${\displaystyle -cosx}$	${\displaystyle e^x}$

به نحوه علامتگذاری در این مثال توجه کنید:

در این مثال در گام آخر لازم است که از جمله آخری (مضرب آخری) انتگرال بگیریم:

${\displaystyle \int e^x\cos xdx=e^x\sin x+e^x\cos x-\int e^x\cos xdx,}$

با ساده‌سازی انتگرال‌های دو طرف داریم:

${\displaystyle 2\int e^x\cos xdx=e^x\sin x+e^x\cos x,}$

در نتیجه حاصل به صورت زیر می‌شود:

${\displaystyle \int e^x\cos xdx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C.}$