تقسیم بر صفر

تقسیم عدد بر صفر تعریف نمی‌شود.

{\dfrac {x}{0}}=Undefined

x\in R

چرا ایکس(X) تقسیم بر صفر بی جواب است؟ جواب ساده است برای مثال: 6/3 دارای جواب است و جواب آن می شود دو (زیرا اگر دو را در سه ضرب کنیم می شود 6)

حال اگر 6/0 دارای جواب باشد آن وقت باید عددی باشد که در 0 ضرب شود تا جواب 6 گردد از آنجایی که ضرب هر عدد در صفر می شود صفر پس هیچ عددی وجود ندارد که در صفر ضرب شود و جواب 6 گردد بنابراین 6/0 بی جواب است.

هرگاه عددی غیر صفر بر «صفر حدی» تقسیم گردد حاصل بی‌نهایت خواهد بود. (مثبت یا منفی‌بودن بی‌نهایت نیز باید بررسی شود.)

${\dfrac {x}{0^{+}}}=+\infty ,x>0$

{\dfrac {x}{0^{-}}}=-\infty ,x>0

تقسیم صفر بر «صفر حدی» نیز صفر است.

در ریاضیات تقسیم عدد غیر صفر بر صفر تعریف نمی‌شود و در نتیجه معادلی ندارد، با این که بی‌نهایت مفهومی انتزاعی‌ست با این وجود بازهم نمی‌توان گفت که تقسیم عدد غیر صفر بر صفر بی‌نهایت می‌شود و این اشتباه رایجی‌ست که گفته می‌شود تقسیم عدد غیر صفر بر صفر بی‌نهایت می‌شود. این گزاره در برخی از عملیات‌ها مشکل ایجاد می‌کند از این رو مفهوم حد کمک می‌کند تا بتوان عامل صفر در صورت و مخرج را ساده نمود (به شرط آن که حدی باشد) به عبارت دیگر مفهوم حد بیان می‌کند که در واقع هنگامی که مخرج به صفر میل می‌کند پس مخرج صفر نیست و عامل صفر ندارد از این رو تقسیم بر آن مجاز می‌گردد ولی کماکان گزارۀ بیان شده پابرجاست (تقسیم بر صفر مجاز نیست) و شرایط حدی، شرایطی متفاوت است.

تابع

y={\dfrac {1}{x}}

، نمودار، وضعیت را در همسایگی صفر (x = 0) نشان می‌دهد

کنون کسر $\textstyle {\frac {1}{x}}$ را در نظر بگیرید (که در آن یک عدد غیر صفر بر x تقسیم شده‌ست و هر عدد غیر صفر مثبت دیگر نیز صدق می‌کند) x از یک مقدار مثبت به سوی صفر میل می‌کند اما هیچ‌گاه به صفر نمی‌رسد از این رو حاصل این کسر هم به صورت مداوم بزرگ می‌شود که در این‌جا این مفهوم را بی‌نهایت می‌گوییم (این درحالی‌ست که بی‌نهایت خود مفهومی انتزاعی‌ست و دست نایافتنی است) همین که مخرج صفر شد یعنی x=0 آنگاه عبارت «تعریف نشده» خواهد شد. (در حالتی هم که مثبت‌ها منفی در نظر گرفته شود و به صورت مشابه عمل گردد همین نتیجه خواهد بود. اگر صورت و مخرج مختلف‌العلامت باشند آنگاه با میل کردن مخرج به صفر، حاصل حدی «منفی بی‌نهایت» خواهد شد (اما در هر حالت وقتی x=0، کسر، تعریف نشده خواهد بود)

حالات مختلف

منظور از Indeterminate «مبهم» و از Undefined «تعریف نشده» است.

${\dfrac {-2}{0^{\pm }}}=\mp \infty$

{\dfrac {0}{0^{\pm }}}=0

{\dfrac {2}{0^{\pm }}}=\pm \infty

${\dfrac {0^{\pm }}{0^{\pm }}}=Indeterminate>0$

{\dfrac {0^{\mp }}{0^{\pm }}}=Indeterminate<0

{\dfrac {\pm \infty }{0^{\pm }}}=+\infty

{\dfrac {\pm \infty }{0^{\mp }}}=-\infty

${\dfrac {0^{\pm }}{0}}=Undefind$

{\dfrac {x}{0}}=Undefind,x\in \mathbb {R}

جستارهای وابسته

یادداشت

↑ توجه داشته باشید که ما در این جا مفهوم حدی و غیر حدی را با هم ترکیب کردیم تا در کنار هم ملموس‌تر باشند

منابع

↑ Undefined - look for division by zero

[2] توجه داشته باشید که ما در این جا مفهوم حدی و غیر حدی را با هم ترکیب کردیم تا در کنار هم ملموس‌تر باشند

[1] Undefined - look for division by zero