سامانه لورنتس

در سال ۱۹۶۳، ادوارد لورنتس، با کمک الن فتر، یک مدل ریاضی ساده برای همرفت جوی ایجاد کرد. این مدل سیستمی از سه معادله دیفرانسیل معمولی تشکیل شده‌است که اکنون به عنوان معادلات لورنتس شناخته می‌شوند:

معادلات لورنتس نیز در مدل‌های ساده شده برای لیزر، مولد الکتریکی، ترموسیفون، موتور جریان مستقیم، مدار الکتریکی، واکنش‌های شیمیایی و اسمز مستقیم کاربرد دارد. این معادلات همچنین از معادلات مطرح در فضای فوریه برای چرخ آب مالکوس هستند. چرخ آب مالکوس حرکت آشفته‌ای را به نمایش می‌گذارد که در آن به جای چرخش در یک جهت با سرعت ثابت، چرخشی با سرعت متناوب، کندی، توقف، تغییر جهت‌ها و نوسان به جلو و عقب یا ترکیبی از چنین رفتاری را به روشی غیرقابل پیش‌بینی دارد.

از نظر فنی، سیستم لورنتس غیرخطی، غیر دوره ای، سه بعدی و قطعی است. معادلات لورنتس موضوع صدها مقاله تحقیقاتی و حداقل یک کتاب بوده‌است.

به شکل پیش‌فرض پارامترها ${\displaystyle \sigma }$

اگر

انشعاب چنگال در ${\displaystyle \rho =1}$

فقط می‌تواند مثبت باشد ${\displaystyle \rho }$

هنگامی ${\displaystyle \rho =28}$

تجزیه و تحلیل جاذب لورنتس دشوار است، اما عملکرد معادله دیفرانسیل بر روی جاذب توسط یک مدل هندسی نسبتاً ساده است. اثبات این که واقعاً چنین است چهاردهمین مشکل در لیست مسائل اسمیل است. این مشکل اولین مشکلی بود که توسط وارویک تاکر در سال ۲۰۰۲ حل شد.

برای سایر مقادیر ${\displaystyle \rho }$

شبیه‌سازی متلب

% Solve over time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1]
% ''f'' is set of differential equations
% ''a'' is array containing x, y, and z variables
% ''t'' is time variable

sigma = 10;
beta = 8/3;
rho = 28;
f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)];
[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]); % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver
plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))

شبیه‌سازی ریاضیات

روش استاندارد:

tend = 50;
eq = {x'[t] == σ (y[t] - x[t]),
      y'[t] == x[t] (ρ - z[t]) - y[t],
      z'[t] == x[t] y[t] - β z[t]};
init = {x[0] == 10, y[0] == 10, z[0] == 10};
pars = {σ->10, ρ->28, β->8/3};
{xs, ys, zs} =
  NDSolveValue[{eq /. pars, init}, {x, y, z}, {t, 0, tend}];
ParametricPlot3D[{xs[t], ys[t], zs[t]}, {t, 0, tend}]

کمتر صریح:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel[{{σ (y - x), x (ρ - z) - y, x y - β z}, {}}, {x, y, z}, {σ, ρ, β}];
soln[t_] = StateResponse[{lorenz, {10, 10, 10}}, {10, 28, 8/3}, {t, 0, 50}];
ParametricPlot3D[soln[t], {t, 0, 50}]

راه حل تعاملی به صورت پویا:

eqs = {
  x'[t] == σ (y[t] - x[t]), y'[t] == x[t] (ρ - z[t]) - y[t], z'[t] == x[t] y[t] - β z[t],
  x[0] == 10, y[0] == 10, z[0] == 10
};
tmax = 50;
sol = ParametricNDSolveValue[eqs, Function[t, {x[t], y[t], z[t]}], {t, 0, tmax}, {σ, ρ, β}];
Manipulate[
  fun = sol[σ, ρ, β];
  plot = ParametricPlot3D[fun[t], {t, 0, tmax}, PlotRange -> All, PerformanceGoal -> "Quality"];
  Animate[
    Show[plot, Graphics3D[{PointSize[0.05], Red, Point[fun[t]]}]],
    {t, 0, tmax}, AnimationRunning -> True, AnimationRate -> 1
  ],
  {{σ, 10}, 0, 100}, {{ρ, 28}, 0, 100}, {{β, 8/3}, 0, 100},
  TrackedSymbols :> {σ, ρ, β}
]

شبیه‌سازی پایتون

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

rho = 28.0
sigma = 10.0
beta = 8.0 / 3.0

def f(state, t):
    x, y, z = state  # Unpack the state vector
    return sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z  # Derivatives

state0 = [1.0, 1.0, 1.0]
t = np.arange(0.0, 40.0, 0.01)

states = odeint(f, state0, t)

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection="3d")
ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2])
plt.draw()
plt.show()

شبیه‌سازی مدلینگ

model LorenzSystem

  parameter Real sigma = 10;
  parameter Real rho = 28;
  parameter Real beta = 8/3;

  parameter Real x_start = 1 "Initial x-coordinate";
  parameter Real y_start = 1 "Initial y-coordinate";
  parameter Real z_start = 1 "Initial z-coordinate";

  Real x "x-coordinate";
  Real y "y-coordinate";
  Real z "z-coordinate";

initial equation
  x = x_start;
  y = y_start;
  z = z_start;

equation

  der(x) = sigma*(y-x);
  der(y) = rho*x - y - x*z;
  der(z) = x*y - beta*z;

end LorenzSystem;

شبیه‌سازی جولیا

using DifferentialEquations, ParameterizedFunctions, Plots

lorenz = @ode_def begin # define the system
 dx = σ * (y - x)
 dy = x * (ρ - z) - y
 dz = x * y - β*z
end σ ρ β

u0 = [1.0,0.0,0.0] # initial conditions
tspan = (0.0,100.0) # timespan
p = [10.0,28.0,8/3] # parameters
prob = ODEProblem(lorenz, u0, tspan, p) # define the problem
sol = solve(prob) # solve it
plot(sol, vars = (1, 2, 3)) # plot solution in phase space - variables ordered with 1 based indexing

شبیه‌سازی ماکسیما

load(dynamics)$
load(draw)$

/* System parameters */
a: 10; b: 8/3; r: 28;

lorenzSystem: [a*(y-x), -x*z+r*x-y, x*y-b*z];
dependentVariables: [x, y, z]$
initialValues: [1, 1, 1]$
timeRange: [t, 0, 50, 0.01]$

/* solution via 4th order Runge-Kutta method */
systemSolution: rk(lorenzSystem, dependentVariables, initialValues, timeRange)$
solutionPoints: map(lambda([x], rest(x)), systemSolution)$

draw3d(point_type=none, points_joined=true, color=blue,
       xlabel="x(t)", ylabel="y(t)", zlabel="z(t)",
       points(solutionPoints));

معادلات لورنتس از تقریب بوسینسک (شناوری) به معادلات توصیف گردش سیال در یک لایه کم عمق مایع مشتق شده‌است، هنگامی مایع از پایین به‌طور یکنواخت گرم می‌شود و از بالا به‌طور یکنواخت سرد می‌شود. این گردش سیال به همرفت ریلی–بنارد معروف است. مفروض است که مایع در دو بعد (عمودی و افقی) با شرایط مرزی مستطیلی شکل گردش می‌کند.

لورنتس مشارکت‌های الن فتر را در مقاله خود، که مسئول شبیه‌سازی‌های عددی و ارقام است، تأیید می‌کند. همچنین، مارگارت همیلتون در محاسبات عددی اولیه و منجر به یافته‌های مدل لورنتس کمک کرد.

• یک راه حل در جاذب لورنز با وضوح بالا در صفحه xz رسم شده‌است.

• یک راه حل در جاذبه‌های لورنز به عنوان SVG ارائه شده‌است.

• انیمیشنی که مسیرهای مختلفی را در سیستم لورنز نشان می‌دهد.

• یک راه حل در جاذب لورنز به عنوان یک سیم فلزی برای نشان دادن جهت و ساختار سه بعدی ارائه شده‌است.

• انیمیشنی که واگرایی راه حلهای نزدیک به سیستم لورنز را نشان می‌دهد.

• تصویری از جاذب لورنز در نزدیکی یک چرخه متناوب.

• دو خط ساده در سیستم لورنز ، از rho = ۰ تا rho = ۲۸ (سیگما = ۱۰ ، بتا = ۸/۳)

• انیمیشن یک سیستم لورنز با وابستگی روحی