قاعده سیمپسون

اگر اندازهٔ بازهٔ مورد انتگرال کوچک باشد، قاعده سیمپسون برای n = ۲ یک جواب نسبتاً دقیق از جواب انتگرال خواهد بود. اما اگر تابع ما پیوستگی نداشته باشد یا اندازهٔ بازهٔ مورد انتگرال بزرگ باشد یا تابع ما دارای مشتق‌های ناپیوسته باشد، در هر یک از این موارد قاعده سیمپسون برای n = ۲ جوابی دقیق ارائه نمی‌دهد. در این صورت می‌توان بازه را به n > 2 بخش تقسیم کرد و در هر یک از این بخش‌ها از قاعده سیمپسون استفاده کرد؛ که در این صورت به آن تعمیم قاعده سیمپسون گفته می‌شود. فرض کنید بازهٔ انتگرال [a,b] به n بخش تقسیم شده‌است و همچنین n را عددی زوج در نظر بگیرید در این صورت طبق قاعده سیمپسون داریم

که در این فرمول ${\displaystyle x_j=a+jh}$

خطای تعمیم قاعده سیمپسون برابر است با

${\displaystyle Error=-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi )}$

که در آن ${\displaystyle \xi }$

اگر چندجمله‌ای درجهٔ دو ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}$

${\displaystyle {\int }_a^{b}P(x)dx=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]}$

خطای این روش محاسبهٔ انتگرال برابر است با:

${\displaystyle Error=-\frac{1}{90}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^5{f}^{(4)}(\xi )}$

از دیگر فرمول‌های به‌دست آمده از قاعده سیمپسون توسط فرمول‌های نقطهٔ میانی

${\displaystyle M=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)}$

و فرمول روش ذوزنقه

${\displaystyle T=\frac{1}{2}(b-a)(f(a)+f(b)).}$

است که خطای این دو روش به ترتیب

${\displaystyle \frac{1}{24}(b-a{)}^3{f}^{″}(a)+O((b-a{)}^4)}$

و

${\displaystyle -\frac{1}{12}(b-a{)}^3{f}^{″}(a)+O((b-a{)}^4)}$

هستند که برای استخراج فرمول جدید از این دو روش به نسبت خطاها آن‌ها را جمع می‌کنیم.

${\displaystyle \frac{2M+T}{3}}$

جمع وزن‌دار این دو فرمول دقیقاً همان فرمول سیمپسون یک سوم است.

این قانون یکی دیگر از روش‌های محاسبهٔ انتگرال است. این قانون با درونیابی یک چندجمله‌ای درجه ۳ و استفاده از قاعده سیمپسون بدست می‌آید.

${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{3h}{8}\left[f(a)+3f\left(\frac{2a+b}{3}\right)+3f\left(\frac{a+2b}{3}\right)+f(b)\right]=\frac{(b-a)}{8}\left[f(a)+3f\left(\frac{2a+b}{3}\right)+3f\left(\frac{a+2b}{3}\right)+f(b)\right]}$

خطای روش سیمپسون سه هشتم برابر است با:

${\displaystyle Error=-\frac{(b-a{)}^5}{6480}{f}^{(4)}(\xi )}$

در این روش با n بار استفاده از قاعده سیمپسون سه هشتم در بازهٔ [a,b] فرمول زیر به‌دست می‌آید

خطای روش تعمیم قاعده سیمپسون سه هشتم برابر است با

${\displaystyle Error=-\frac{h^4}{80}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$

در تعمیم قاعده سیمپسون به جای استفاده از قاعده سیمپسون در بین بخش‌های جداگانه، آن را بین بخش‌هایی که همپوشانی دارند استفاده می‌کنیم

${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{48}[17f(x_0)+59f(x_1)+43f(x_2)+49f(x_3)+48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_i)+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_n)]}$

این فرمول با استفاده از قاعده سیمپسون و قاعده سیمپسون سه هشتم و در نهایت میانگین گرفتن از دو فرمول به‌دست آمده به‌دست آمده‌است.

برای انتگرال گرفتن از بازهٔ غیرمعمول ${\displaystyle I=[a,b]}$

فرض کنید این بازه را به زوج زیر بخش (${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\sum _{i=0}^{N/2-1}\left({\alpha }_i{f}_{2i+2}+{\beta }_i{f}_{2i+1}+{\eta }_i{f}_{2i}\right)}$

که ${\displaystyle f_k=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}{h}_i\right)}$

${\displaystyle {\alpha }_i=\frac{2h_{2i+1}^3-h_{2i}^3+3h_{2i}{h}_{2i+1}^2}{6h_{2i+1}(h_{2i+1}+h_{2i})},}$

${\displaystyle {\beta }_i=\frac{h_{2i+1}^3+h_{2i}^3+3h_{2i+1}{h}_{2i}(h_{2i+1}+h_{2i})}{6h_{2i+1}{h}_{2i}},}$

${\displaystyle {\eta }_i=\frac{2h_{2i}^3-h_{2i+1}^3+3h_{2i+1}{h}_{2i}^2}{6h_{2i}(h_{2i+1}+h_{2i})}}$

که استفادهٔ این روش در قطعه کد زیر در پایتون (زبان برنامه‌نویسی) آمده‌است:

• Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis (7th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
• Pate, McCall (1918). The naval artificer's manual: (The naval artificer's handbook revised) text, questions and general information for deck. United States. Bureau of Reconstruction and Repair. p. 198.
• Matthews, John H. (2004). "Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration". Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton. Archived from the original on 4 December 2008. Retrieved 11 November 2008.
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Vetterling, William T.; Teukolsky, Saul A. (1989). Numerical Recipes in Pascal: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. ISBN 0-521-37516-9.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.
• Weisstein, Eric W. (2010). "Newton-Cotes Formulas". MathWorld--A Wolframtite Web Resource. MathWorld. Retrieved 2 August 2010.