حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

قانون کسینوس‌ها

در مثلثات قانون کسینوس که به نام قانون کاشانی هم شناخته می‌شود. قانون کسینوس ها برای بدست آوردن طول یک ضلع مثلث کاربرد دارد و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:

قانون کسینوس‌ها
تصویر یک مثلث
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) , {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,}
قانون کسینوس‌ها
b 2 = c 2 + a 2 − 2 c a cos ⁡ ( β ) , {\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,}
قانون کسینوس‌ها
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ ( α ) , {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ),\,}
قانون کسینوس‌ها
cos ⁡ ( γ ) = a 2 + b 2 − c 2 2 a b   . {\displaystyle \cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ .\,}
قانون کسینوس‌ها

فهرست

  • ۱ اثبات
  • ۲ منابع
  • ۳ جستارهای وابسته
  • ۴ پیوند به بیرون

اثبات

قانون کسینوس‌ها
اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه باز
قانون کسینوس‌ها
اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه تند

چند روش برای اثبات قانون کسینوس‌ها وجود دارد که در اینجا اثبات بر اساس قضیه فیثاغورس را می‌بینیم.

  • حالت زاویه باز:

در اینجا اندازه ارتفاع وارد بر ضلع b را با h و فاصله پایه ارتفاع مذکور تا راس C را با d نشان داده‌ایم.

a 2 = d 2 + h 2 {\displaystyle a^{2}=d^{2}+h^{2}}
c 2 = b 2 + 2 b d + d 2 + h 2 {\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}}
c 2 = b 2 + 2 b d + a 2 , d = a cos ⁡ ( π − γ ) = − a cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+a^{2},d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos(\gamma )}
c 2 = b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) + a 2 {\displaystyle c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}}
  • حالت زاویه تند:
c 2 = ( b − a cos ⁡ ( γ ) ) 2 + ( a sin ⁡ ( γ ) ) 2 {\displaystyle c^{2}=(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}}
c 2 = b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) + a 2 cos 2 ⁡ ( γ ) + a 2 sin 2 ⁡ ( γ ) , c o s 2 ( γ ) + s i n 2 ( γ ) = 1 {\displaystyle c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}\sin ^{2}(\gamma ),cos^{2}(\gamma )+sin^{2}(\gamma )=1}
c 2 = b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) + a 2 {\displaystyle c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}}

جستارهای وابسته

  • فرمول‌های مهم مثلثات
  • مثلثات
  • قانون سینوس‌ها
  • قانون تانژانت‌ها

پیوند به بیرون

  • An Excellent Tutorial on the Law of Cosines From PlainMath.Net
  • Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.