قضیه صفرهای هیلبرت

فرض کنید ${\displaystyle k}$

یک نتیجه مستقیم از این قضیه، نولستلنساتز ضعیف یا قضیه صفرهای ضعیف هیلبرت است: ایده آل ${\displaystyle I\subset k[X_1,\dots ,X_n]}$

به کمک نمادگذاری رایج هندسه جبری، قضیه صفرهای هیلبرت را می توان برای هر ایده آل :${\displaystyle J}$

${\displaystyle \text{I}(\text{V}(J))=\sqrt{J}}$

دراینجا، ${\displaystyle \sqrt{J}}$

بدین طریق، ما به تناظر حافظ-ترتیبی بین مجموعه های جبری در ${\displaystyle J}$

به عنوان مثالی خاص، نقطه ${\displaystyle P=(a_1,\dots ,a_n)\in K^n}$

${\displaystyle \sqrt{I}=\bigcap _{(a_1,\dots ,a_n)\in V(I)}(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n).}$

برعکس، هر ایده آل ماکسیمال از حلقه چندجمله ای ${\displaystyle K[X_1,\dots ,X_n]}$

به عنوان مثالی دیگر، یک زیرمجموعه جبری چون ${\displaystyle W}$