نابرابری ینسن

بیان

برای یک تابع محدب ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f\left(x_i\right).}$

اثبات استنتاجی

برای هر ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$

اثبات ینسن

${\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2}}$

${\displaystyle f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}\right)\le \frac{\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)}{n}}$

${\displaystyle f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{k}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{k}_i}\right)\le \frac{\sum _{i=1}^n{k}_{i}f\left(x_i\right)}{\sum _{i=1}^n{k}_i}}$

از نابرابری ینسن در اثبات نابرابری‌های دیگر استفاده می‌شود. به‌طور مثال در اثبات نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری کی فان (به انگلیسی: Ky Fan inequality) از این نابرابری استفاده می‌شود.

نابرابری ینسن، مؤسسه‌ای بین‌المللی ولفرم ریسرچ