نظریه ارگودیک

متوسط زمان تابع خوش‌رفتار f را در نظر بگیرید. این به عنوان متوسط بر روی تناوب T با شروع از نقطهٔ آغاز x تعریف می‌شود.

${\displaystyle \hat{f}(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)}$

همچنین متوسط فضایی یا متوسط فازی f، که به صورت

${\displaystyle \overline{f}=\int fd\mu }$

تعریف می‌شود که در آن μ اندازهٔ فضای احتمال است.

در کل متوسط زمانی و متوسط فضایی ممکن است با هم متفاوت باشند، اما اگر انتقال ما ارگادیک و اندازه‌نگهدار باشد، آنگاه تقریباً در همه‌جا میانگین زمانی برابر میانگین فضا خواهد بود. این منجر به قضیهٔ ارگادیک است.

کلمه ارگودیک از کلمه یونانی έργον and όδος مشتق شده‌است. Boltzmann زمانی که روی یک مسئله در زمینه مکانیزم‌های آماری کار می‌کرد این کلمه را انتخاب کرد.

فرض کنید که ${\displaystyle (X,\mathrm{\Sigma },\mu )}$

• for every ${\displaystyle E\in \mathrm{\Sigma }}$
  with ${\displaystyle T^{-1}(E)=E}$
  either ${\displaystyle \mu (E)=0}$
  or ${\displaystyle \mu (E)=1}$
  .
• for every ${\displaystyle E\in \mathrm{\Sigma }}$
  with ${\displaystyle \mu (T^{-\ast 1}(E)△E)=0}$
  either ${\displaystyle \mu (E)=0}$
  or ${\displaystyle \mu (E)=1}$
  (where ${\displaystyle △}$
  denotes the symmetric difference).
• for every ${\displaystyle E\in \mathrm{\Sigma }}$
  with positive measure we have ${\displaystyle \mu ({\cup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{T}^{-n}E)=1}$
  .
• for every two sets E and H of positive measure, there exists an n> ۰ such that ${\displaystyle \mu (T^{-n}E\cap H)>0}$
  .

• یک دوران گنگ دایره R/Z با T: x → x+θ که θ گنگ است ارگودیک است. در حالیکه اگر θ = p/q گویا باشددر این صورت T متناوب با دوره تناوب q است ونمی تواند ارگودیک باشد.
• اگر فرض کنیم کهG یک گروه فشرده آبلی باشد μ معیار نرمالیزه شده Haar باشد وT یک گروه خود سان از G باشد. T خودسان ارگودیک است اگر و فقط اگر معادلهT)(χ)=χ)در صورتی برقرار باشد که n = ۰ یاχ ویژگی بدیهی G باشد. اگر G یک طبق n بعدی باشدوخودسان T با یک ماتریس صحیح A نشان داده شود در این صورت T یک ارگودیک است هیچ‌کدام از مقادیر ویژه A یک ریشه واحد نباشد.
• ergodicity یک سیتم پویای پیوسته به این معنی است که خطوط مسیر در اطراف فضای حالت پخش شده‌اند. یک سیتم با یک فضای حالت فشرده که دارای اولین انتگرال ثابت نیست نمی‌تواند ارگودیک باشد؛ که این در سیستم هاملتیونی که اولین انتگرال I به‌طور تابعی مستقل از از تابع هاملتیون H ومجموعه فشرده{X = {(p, q): H(p, q)=Eبا یک انرژی ثابت کاربرد دارد.

فرض کنیم که ${\displaystyle T:X\to X}$

${\displaystyle \hat{f}(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right).}$

• اگر ${\displaystyle \mu (X)}$
  محدود وغیر صفر باشد در این صورت می‌توانیم میانگین مکانی از f را به صورت زیر تعریف کنیم:

${\displaystyle \overline{f}=\frac{1}{\mu (X)}\int fd\mu .\text{ (For a probability space,}\mu (X)=1.)}$

• در کل میانگین زمانی ومکانی ممکن است متفاوت باشند. اما اگر تبدیل ارگودیک باشد واندازه‌گیری نا متغیر باشد در این صورت تقریباً در همه جا میانگین زمانی با میانگین مکانی معادل است. این خلاصه‌ای از نظریه ارگودیک از دیدگاه جورج دیوید بیرکهوف است. تئوری توزیع همسان مورد ویژه‌ای از نظریه ارگودیک است که با توزیع‌های احتمال روی یک بازه واحد بررسی می‌شود.

حالت قوی نظریه ارگودیک که محدود به تعریفی از میانگین زمانی f می‌باشد وتقریبا برای هر x وتابع حدی انتگرال پذیر ${\displaystyle \hat{f}}$

${\displaystyle \hat{f}\in L^1(\mu ).}$

• علاوه برآن ${\displaystyle \hat{f}}$
  نسبت به T نا متغیر است یعنی می‌توان گفت که:

${\displaystyle \hat{f}\circ T=\hat{f}}$

تقریباً در همه جا برقرار است واگر ${\displaystyle \mu (X)}$

محدود باشد در این صورت نرمال‌سازی نیز به یکسان است:

${\displaystyle \int \hat{f}d\mu =\int fd\mu .}$

• اگر T به صورت ارگودیک باشد در این صورت ${\displaystyle \hat{f}}$
  باید ثابت باشد وبنابراینداریم:

${\displaystyle \overline{f}=\hat{f}}$

با ادغام اولین به آخرین ادعا وبا فرض اینکه ${\displaystyle \mu (X)}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)=\frac{1}{\mu (X)}\int fd\mu }$

• بنابراین تقریباً برای تمام xها به جز آن‌هایی که مجموعه‌ای با اندازه صفر هستند قطعاً برای یک تبدیل ارگودیک میانگین زمانی تقریباً معادل میانگین مکانی است.

قضیه Birkhoff–Khinchin می‌گوید با فرض اینکه ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)=E(f|\mathcal{C})\text{ a.s.},}$

به‌طوری‌که ${\displaystyle E(f|\mathcal{C})}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)=E(f)\text{ a.s.}}$

صورت دیگر قضیه ارگودیک مر بوط به حد متوسط قضیه ارگودیک است که توسط Neumann von ارائه شد ه و در فضای Hilbert برقرار است. فرض کنید که ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{U}^{n}x=Px,}$

• به‌طوری‌که حد نسبت به اندازه روی H است.

${\displaystyle \frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{U}^n}$

به عبارت دیگر توالی میانگین‌ها نسبت به P در توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. این قضیه خاص مواردی است که که در آن فضای Hilbert یعنی H شامل L تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور وU به صورتL تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور وU به صورت:${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)}$

• بنابراین قضیه ارگودیک عملکرد میانگین تابع f را در طول یک مقیاس زمانی به اندازه کافی بزرگ ارزیابی می‌کند که از طریق جزء متعامد از f که نسبت به زمان نامتغیر است تقریب زده شده‌است.

صورت دیگر قضیه حد متوسط ارگودیک این است که فرض کنیم U_t یک گروه یک پارامتری اکیداً پیوسته از اپراتور واحد روی H باشد در این صورت اپراتور به صورت زیر است:

${\displaystyle \frac{1}{T}{\int }_0^T{U}_{t}dt}$

که همچنان که T → ∞ آن نیز به توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. در حقیقت این نتایج به مواردی از پیوستگی اکید نیم گروه یک پارامتری از اپراتورهای متمایل به فضای باز تابنده تعمیم داده می‌شود. تذ کر: قضیه حد متوسط ارگودیک را می‌توان از طریق ملاحظه مواردی که تعدادی مجموعه با طول واحد به عنوان تبدیلات واحد روی صفحه چند جزئی هستند در نظر گرفت. اگر ما یک تعداد ترکیب منفرد از طول واحد را برگزینیم (چیزی که به عنوان ${\displaystyle U}$

فرض کنید که ${\displaystyle (X,\mathrm{\Sigma },\mu )}$

اغلب این درست است که داشته باشیم:

سرانجام اگر فرض شود که f در طبقه Zygmund است یعنی ${\displaystyle |f|{\log }^{+}|f|}$

فرض کنید که ${\displaystyle (X,\mathrm{\Sigma },\mu )}$

${\displaystyle \frac{\mu (A)}{\mu (X)}=\frac{1}{\mu (X)}\int {\chi }_{A}d\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{\chi }_A\left(T^{k}x\right)}$

برای تمام xها به جز برای یک مجموعه با اندازه صفر به‌طوری‌که ${\displaystyle {\chi }_A}$

${\displaystyle \frac{R_1+\cdots +R_n}{n}\to \frac{\mu (X)}{\mu (A)}\text{(almost surely)}}$

• هر چه A کوتاه‌تر باشد در این صورت مدت زمان بازگشت به آن طولانی‌تر است.

در یک زنجیر ه Markov یک عبارت ${\displaystyle i}$

متعقابا اینکه ergodicity یک سیستم پویا یک ویژگی خاص تحویل نا پذیر است وابسته به مفهوم نمایش غیرقابل تقلیل جبری وعدد اول در ریاضیات است. یک تبدیل حفظ‌کننده اندازه‌گیری یا جریانی روی فضای ergodicity مطابق با یک تجزیه متعارف به اجزای ارگودیک آن است یعنی به هر کدام از اجزایی که ارگودیک هستند.

• فرایند ارگادیک

• ارگادیسیتی چیست؟ (توصیف مفهوم به زبان انگلیسی)