نظریه حلقه‌ها
در جبر، نظریه حلقه‌ها به مطالعهٔ حلقه‌ها می‌پردازد. حلقه‌ها ساختار مجردی هستند که در آن جمع و ضرب تعریف شده و خواص مشابهی با خواص جمع و ضرب در اعداد صحیح دارند. نظریه حلقه‌ها به مطالعهٔ ساختار حلقه‌ها، نمایش‌های آن‌ها یا به زبان دیگر مدول‌ها و همچنین به مطالعهٔ انواع مختلف حلقه‌ها (مثل حلقه‌های گروهی، حلقه‌های تقسیم و جبرهای پوششی جهانی) می‌پردازد. علاوه بر این‌ها در این نظریه هم خواصی از حلقه‌ها که در خود نظریه حلقه‌ها کاربرد دارد می‌پردازند و هم به خواصی که در جاهای دیگر کاربرد داشته باشد، مثل خواص همولوژیکی و هویت‌های چندجمله ای.
حلقه‌های جابجایی بسیار بهتر از حلقه‌های ناجابجایی درک شده‌اند. هندسه جبری و نظریه جبری اعداد، که مثال‌های طبیعی بسیاری برای حلقه‌های جابجایی ارائه کرده‌اند، بسیاری از پیشرفت‌ها را در نظریه حلقه‌ها موجب گشته‌اند که اکنون به آن جبر جابجایی گفته شده و از قلمروهای اصلی ریاضیات به حساب می‌آید. به خاطر این که این سه حوزه از ریاضی (هندسه جبری، نظریه جبری اعداد و جبر جابجایی) پیوند نزدیکی با هم دارند، سخت و بی معناست که تصمیم بگیریم یک نتیجه خاص مربوط به کدام یک از این سه قلمرو می‌باشد. به عنوان مثال، قضیه صفرهای هیلبرت، قضیه ای است که برای هندسه جبری اهمیت حیاتی داشته در حالی که به کمک جبر جابجایی اثبات می‌شود. به‌طور مشابه، قضیه آخر فرما بر اساس حساب مقدماتی بیان می‌شود که بخشی از جبر جابجاییست، در حالی که اثبات آن از نتایج عمیقی حاصل می‌شود که برآمده از هر دو گرایش نظریه جبری اعداد و هندسه جبری اند.
یادداشت‌ها
منابع
- Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups (Second ed.), Edward Arnold, London, p. xxvi+383, ISBN 0-7131-3476-3, MR 1144518
- Blyth, T.S.; Robertson, E.F. (1985), Groups, Rings and Fields: Algebra through practice, Book 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27288-2
- Faith, Carl (1999), Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8, MR 1657671
- Goodearl, K. R.; Warfield, R. B. , Jr. (1989), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts, vol. 16, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36086-2, MR 1020298
- Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications, archived from the original on 30 August 2019, retrieved 30 October 2019
- Kimberling, Clark (1981), "Emmy Noether and Her Influence", in Brewer, James W; Smith, Martha K (eds.), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, pp. 3–61
- Lam, T. Y. (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 0-387-98428-3, MR 1653294
- Lam, T. Y. (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (Second ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
- Lam, T. Y. (2003), Exercises in Classical Ring Theory, Problem Books in Mathematics (Second ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00500-5, MR 2003255
- Matsumura, Hideyuki (1980), Commutative Algebra, Mathematics Lecture Note Series, vol. 56 (Second ed.), Reading, Mass.: Benjamin Cummings, ISBN 0-8053-7026-9, MR 0575344
- McConnell, J. C.; Robson, J. C. (2001), Noncommutative Noetherian Rings, Graduate Studies in Mathematics, vol. 30, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/030, ISBN 0-8218-2169-5, MR 1811901
- O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (September 2004), "The development of ring theory", MacTutor History of Mathematics Archive, archived from the original on 30 اكتبر 2019, retrieved 30 August 2019
- Pierce, Richard S. (1982), Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics, vol. 88, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90693-2, MR 0674652
- Rowen, Louis H. (1988), Ring Theory, Vol. I, Pure and Applied Mathematics, vol. 127, Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245. Vol. II, Pure and Applied Mathematics 128, شابک ۰−۱۲−۵۹۹۸۴۲−۲.
- Weibel, Charles A. (2013), The K-book: An introduction to algebraic K-theory, Graduate Studies in Mathematics, vol. 145, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-9132-2, MR 3076731