نقاط هم‌دایره

عمود منصف پاره خط بین دو نقطه روی یک دایره از مرکز دایره می‌گذرد.برای n نقطه روی یک دایره اگر به صورت متوالی نقاط را به هم وصل کنیم n(n − ۱)/۲ پاره خط و بالتبع همین تعداد عمود منصف گذرنده از مرکز دایره داریم.

همهٔ مثلث‌ها محاطی اند، به همین علت از این لحاظ دسته‌بندی نمی‌شوند.به دایره‌ای که رئوس مثلث بر آن واقع اس، محیطی گویند و رابطهٔ شعاع آن با اضلاع مثلث به صورت زیر است:

${\displaystyle R=\sqrt{\frac{a^2{b}^2{c}^2}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}.}$

وقتی رئوس چهار ضلعی'ABCD' هم‌دایره باشند، به این چهارضلعی محاطی گویند. این شرایط زمانی وقتی رخ می‌دهد که ${\displaystyle \mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }CBD}$

${\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},}$

که پارامشوارا ریاضی‌دان هندی در قرن ۱۵ آن را بدست آورد.

همچنین بر اساس قضیه بطلمیدوس اگر قطرهای چهارضلعی را داشته باشیم، چهارضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

همچنین اگر قطرها یکدیگر را در نقطهٔ X قطع کنند. چهارضلعی محیطی است، اگر و تنها اگر

${\displaystyle {\displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}}$

همچنین یک چهارضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر عمود منصف اضلاع همرس باشند.

برخی بر این باورند که نقاط هم راستا هم هم‌دایره اند بر روی دایره‌ای با شعاع بی‌نهایت.

یک چند ضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر هر ۴ راس آن یک چهارضلعی محاطی باشد.