نقاط لاگرانژی

موضوع نقاط لاگرانژی از نتایج مسئله سه جسم در مکانیک است. میدان گرانشی دو جسم با جرم کافی، ۵نقطه را در فضا ایجاد می‌کند که جسم سومی با جرم ناچیز می‌تواند در این نقاط قرار بگیرد و موقعیتش را نسبت به این دو جسم، حفظ کند.

مکان نقطه L1

مکان نقطه L1 از معادله زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle \frac{M_1}{(R-r{)}^2}-\frac{M_2}{r^2}=\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}}$

در معادله بالا r، فاصله نقطه L1 از جسم کم جرم تر است.R فاصله ۲ جسم از هم است.M₁ و M₂ به ترتیب جرم اجسام سنگین و سبک‌تر هستند. اگر M₂ از M₁ خیلی کوچکتر باشد، آنگاه به‌طور تقریبی می‌توان گفت:

${\displaystyle r\approx R\sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}}$

همچنین می‌توان رابطه بالا را به این شکل نوشت:

${\displaystyle \frac{M_2}{r^3}\approx 3\frac{M_1}{R^3}}$

مکان نقطه L2

مکان نقطه L2 از معادله زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle \frac{M_1}{(R+r{)}^2}+\frac{M_2}{r^2}=\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}}$

باز هم مانند نقطه L1 اگر M₂ خیلی کمتر از M₁ باشد، آنگاه به‌طور تقریبی می‌توان گفت:

${\displaystyle r\approx R\sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}}$

مکان نقطه L3

مکان نقطه لاگرانژی سوم از معادله زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle \frac{M_1}{{\left(R-r\right)}^2}+\frac{M_2}{{\left(2R-r\right)}^2}=\left(\frac{M_2}{M_1+M_2}R+R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}}$

نقطه L3 به جسم سنگین تر نزدیک تر است تا جرم سبک‌تر. اگر M₂ خیلی کمتر از M₁ باشد، آنگاه:

${\displaystyle r\approx R\frac{7M_2}{12M_1}}$

نقاط L4 و L5

نقطه L4 از دو جسم M₁ و M₂ به یک فاصله است؛ یعنی نیروی گرانش وارده از دو جسم به نقطه L4 نسبت به هم، برابر نسبت جرم‌هایشان است. به عبارتی:

${\displaystyle \frac{F_{14}}{F_{24}}=\frac{M_1}{M_2}}$

در فیزیک F₁₄ یعنی نیرویی که جسم ۱ به جسم ۴ وارد می‌کند. در رابطه بالا منظور نیرویی است که جسم M₁ به جسم واقع در L4 وارد می‌کند.

موارد بالا در مورد نقطه L5 هم صادق است. برآیند نیروهای وارده به L4 و L5 هر دو به سمت مرکز جرم دو جسم پرجرم تر است.

• Lagrange, J. -L. Essai sur le problème des trois corps, 1772. Prix de l'Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, in vol. 6 of Oeuvres de Lagrange (Gauthier-Villars, Paris, 1873), 272–282.
• اسرار کائنات نوشته ابراهیم ویکتوری صفحه ۱۵۸ بخش فارسی

• Explanation of Lagrange points – Prof. Neil J. Cornish
• A NASA explanation – also attributed to Neil J. Cornish
• Explanation of Lagrange points – Prof. John Baez
• Geometry and calculations of Lagrange points بایگانی‌شده در ۹ نوامبر ۲۰۰۵ توسط کتابخانه جدید اسکندریه – Dr J R Stockton
• Locations of Lagrange points, with approximations – Dr. David Peter Stern
• An online calculator to compute the precise positions of the 5 Lagrange points for any 2-body system – Tony Dunn