حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 1 دقیقه
لینک کوتاه

چندجمله‌ای‌های متعامد

چندجمله‌ای‌های متعامد (Orthogonal polynomials) به دنباله‌هایی نامتناهی متشکل از چندجمله‌ای‌های حقیقی عمود بر هم اطلاق می‌شود. در فضاهای برداری گوناگون، شکل گیری مفاهیم هندسی از قبیل طول (نرم)، زاویه، و تعامد از چگونگی تعیین و تعریف ضرب داخلی بردارها در آن جا آغاز می‌شود.

فهرست

  • ۱ تاریخچه
  • ۲ تعریف
  • ۳ مثال
    • ۳.۱ چندجمله‌ای‌های لژاندر
    • ۳.۲ هماهنگ‌های کروی

تاریخچه

مطالعات مربوط به چندجمله‌ای‌های متعامد از اواخر قرن نوزدهم (م) آغاز گردید.

تعریف

بازهٔ بستهٔ [ x 1 , x 2 ]

چندجمله‌ای‌های متعامد
و توابع چندجمله‌ای f و g را بر روی آن در نظر می‌گیریم. ضرب داخلی این دو چندجمله‌ای را می‌شود به صورت زیر در نظر گرفت:

⟨ f , g ⟩ = ∫ x 1 x 2 f ( x ) g ( x ) d x .
چندجمله‌ای‌های متعامد

توابع چندجمله‌ای f و g را متعامد می‌نامیم چنانچه ⟨ f , g ⟩ = 0

چندجمله‌ای‌های متعامد
باشد.

مثال

چندجمله‌ای‌های لژاندر

چندجمله‌ای‌های لژاندر به مفهوم بالا، در بازه [۱٫۱-] و برای تابع وزن ۱ بر یکدیگر عمود هستند.

P 0 ( x ) = 1 ,
P 1 ( x ) = x ,
P 2 ( x ) = 3 x 2 − 1 2 ,
P 3 ( x ) = 5 x 3 − 3 x 2 ,
P 4 ( x ) = 35 x 4 − 30 x 2 + 3 8 ,
⋮

همگی این چندجمله‌ای‌ها دو به دو متعامد هستند، وقتی که از هم متمایز باشند ( m ≠ n

).

∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 0.

هماهنگ‌های کروی

آخرین نظرات
  • زاویه
  • طول
  • زاویه
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.