گرانش تانسور-بردار-نرده‌ای

MOND یک پدیده اصلاحی از قانون شتاب نیوتنی است. در نظریه قانون جهانی گرانش نیوتن، شتاب گرانشی در میدان استاتیک کروی متقارن، از نقطه جرم ${\displaystyle M}$

${\displaystyle a=-\frac{GM}{r^2},}$

که ${\displaystyle G}$

${\displaystyle F=ma.}$

برای محاسبه منحنی چرخش غیرمعمول کهکشان مارپیچ، میلگرم اصلاح این قانون نیرو را در فرم پیشنهاد کرد:

${\displaystyle F=\mu \left(\frac{a}{a_0}\right)ma,}$

که ${\displaystyle \mu (x)}$

در این حالت، MOND یک نظریه کامل نیست: برای مثال قانون حفاظت از تکانه را نقض می‌کند.

با این حال، چنین قوانین حفاظتی برای نظریه‌های فیزیکی که با استفاده از یک اصل عمل مشتق شده‌اند. این بکنشتاین را به سمت اولین تعمیم غیرنسبیتی MOND سوق داد. این نظریه، AQUAL نام گذاری شد (A QUAdratic Lagrangian) که برپایه لاگرانژ است.

${\displaystyle \mathcal{L}=-\frac{a_0^2}{8\pi G}f\left(\frac{|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }{|}^2}{a_0^2}\right)-\rho \mathrm{\Phi },}$

که ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$

در کره متقارن با میدان گرانشی ایستا، قانون شتاب MOND پس از جایگزینی با ${\displaystyle a=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }}$

بکنشتاین همچنین دریافت که AQUAL را می‌توان به عنوان محدودیت غیر وابسته به یک نظریه زمینه نسبیتی به دست آورد. این نظریه به لحاظ لاگرانژی نوشته شده که شامل، علاوه بر عمل انیشتین-هیلبرت برای میدان متریک ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle S_{\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{S}}=\int \left({\mathcal{L}}_g+{\mathcal{L}}_s+{\mathcal{L}}_v\right)d^{4}x.}$

اصطلاحات این عمل عبارتند از لاگرانژ انیشتین-هیلبرت (با استفاده از علایم متریک ${\displaystyle [+,-,-,-]}$

${\displaystyle {\mathcal{L}}_g=-\frac{1}{16\pi G}R\sqrt{-g},}$

که ${\displaystyle R}$

لاگرانژ میدان نرده ای:

${\displaystyle {\mathcal{L}}_s=-\frac{1}{2}\left[{\sigma }^2{h}^{\alpha \beta }{\mathrm{\partial }}_{\alpha }\varphi {\mathrm{\partial }}_{\beta }\varphi +\frac{1}{2}\frac{G}{l^2}{\sigma }^{4}F\left(kG{\sigma }^2\right)\right]\sqrt{-g},}$

که ${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-u^{\alpha }{u}^{\beta },l}$

${\displaystyle {\mathcal{L}}_v=-\frac{K}{32\pi G}\left[g^{\alpha \beta }{g}^{\mu \nu }\left(B_{\alpha \mu }{B}_{\beta \nu }\right)+2\frac{\lambda }{K}\left(g^{\mu \nu }{u}_{\mu }{u}_{\nu }-1\right)\right]\sqrt{-g}}$

که ${\displaystyle B_{\alpha \beta }={\mathrm{\partial }}_{\alpha }{u}_{\beta }-{\mathrm{\partial }}_{\beta }{u}_{\alpha },}$

به‌طور خاص، ${\displaystyle {\mathcal{L}}_v}$

تابع ${\displaystyle F}$

TeVeS همچنین «متریک فیزیکی» را با فرم جدیدی معرفی می‌کند:

${\displaystyle {\hat{g}}^{\mu \nu }=e^{2\varphi }{g}^{\mu \nu }-2u^{\alpha }{u}^{\beta }\sinh (2\varphi ).}$

عمل ماده معمولی با استفاده از متریک فیزیکی به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle S_m=\int \mathcal{L}\left({\hat{g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\dots \right)\sqrt{-\hat{g}}{d}^{4}x,}$

که مشتق کواریان با توجه به ${\displaystyle {\hat{g}}_{\mu \nu }}$

TeVeS مشکلات مربوط به تلاش‌های قبلی برای تعمیم MOND، مانند انتشار فوقانی شعاعی را حل می‌کند. در مقاله اون، در مقاله خود، بکنشتاین اثرات TeVeS در رابطه با لنزهای گرانشی و کیهان‌شناسی را مورد بررسی قرار داده‌است.

علاوه بر توانایی آن جهت محاسبه منحنی چرخش تخت کهکشان‌ها (اگر چه MOND در اصل برای پاسخ به این موضوع طراحی شده بود)، TeVeS مدعی سازگاری با طیف وسیعی از دیگر پدیده‌های مانند همگرایی گرانشی و مشاهدات کیهانی است. با این حال، Seifert نشان داد که با پارامترهای پیشنهادی بکنشتاین، یک ستاره TeVeS بسیار ناپایدار است، در مقیاسی حدود10 ثانیه (دو هفته). توانایی نظریه به‌طور همزمان برای دینامیک‌های کهکشانی و لنزینگ نیز مورد چالش قرار گرفت. یک راه حل ممکن شاید حالت پرجرم (حدود 2eV) نوترینو باشد.

یک مطالعه در ماه اوت ۲۰۰۶ گزارش داد که یک جفت خوشه کهکشانی در حال برخورد، خوشه گلوله است که رفتار آن گزارش شده‌است با هیچ تئوری گرانش اصلاح جاری سازگار نیست [۸]. یک مطالعه در ماه اوت ۲۰۰۶ گزارش داد که یک جفت خوشه کهکشانی در حال برخورد، خوشه گلوله، که رفتار آن گزارش شده، با هیچ‌کدام از نظریه‌های گرانشی اصلاح شده تطابق ندارد.

یک مقدار ${\displaystyle E_G}$

• اندازه‌گیری گرانش بردار-تنسور
• دینامیک نیوتونی اصلاح‌شده
• نظریه گرانشی غیرمتقارن
• گرانش نرده-تنسور-بردار