تابع زتای ریمان

تابع زتای ریمان ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x,}$

که در آن:

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x}$

تابع گاما است. تابع زتای ریمان برای سایر مقادیر مختلط، از طریق ادامه تحلیلی در ${\displaystyle \sigma >1}$

لئونارد اویلر سری بالا را در ۱۷۴۰ برای مقادیر مثبت صحیح s در نظر گرفت و سپس چبیشف تعریف را برای ${\displaystyle \mathrm{Re}(s)>1}$

سری فوق نمونه اولیه ای از سری دیریکله است، چنانکه برای sهایی که ${\displaystyle \sigma >1}$

${\displaystyle \underset{s\to 1}{lim}(s-1)\zeta (s)=1.}$

ازین رو، تابع زتای ریمان روی کل صفحه مختلط s مرومورف است، یعنی تابعی که در همه جا بجز قطب ساده s=۱ هولومورف بوده و در این قطب نیز دارای مانده ۱ می‌باشد.

ارتباط این تابع با اعداد اول ابتدا توسط لئونارد اویلر پیدا شد او پی برد:

یک محاسبه نامحدود که همه اعداد اول را در بر می‌گیرد، نتیجه این محاسبات برای همگراست. این یک نتیجه منطقی از دو نمونه و نتیجه بنیادی در ریاضیات است. این فرمول برای سری‌های ژئومتریک و یک قضیه بنیادی علم حساب است.

آقای گائوس ثابت کرد همه اعداد را به صورت ${\displaystyle m=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_n^{a_n}}$

در عدد m تمامی مقادیر ${\displaystyle a_2,a_3,...}$

${\displaystyle \{1,p_1,p_2^2,...\}}$

حال مجموعه را گسترش می دهیم تا اعداد بیشتری را در اعداد طبیعی محاسبه شود. اینبار ${\displaystyle a_3,a_4,...}$

${\displaystyle \{1,p_1,p_1^2,p_1^3,...,p_2,p_1{p}_2,p_1^2{p}_2,p_1^3{p}_2,...,p_2^2,p_1{p}_2^2,p_1^2{p}_2^2,p_1^3{p}_2^2,...,p_2^3,p_1{p}_2^3,p_1^2{p}_2^3,p_1^3{p}_3^3,...,...\}}$

به خوبی مشاهده می شود اعضای مجموعه ${\displaystyle \{1,p_1,p_1^2,...\}}$

با این ایده، راه حل را گسترش می دهیم و در نهایت پی خواهیم برد مجموع تمام اعداد طبیعی را به صورت زیر می توان نوشت

${\displaystyle (1+p_1+p_1^2+p_1^3+...)(1+p_2+p_2^2+p_2^3+...)(1+p_3+p_3^2+p_3^3+...)...}$

در معکوس اعداد طبیعی نیز با همین ایده پیش می رویم و ضرب اویلر می رسیم

تساوی دیگری که می توان به آن دست یافت به صورت زیر است:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(k^{-s})=\frac{1}{1-\frac{1}{p_1^s}}+\frac{1}{1-\frac{1}{p_1^s}}.\frac{1}{p_2^s-1}+\frac{1}{(1-\frac{1}{p_1^s})(1-\frac{1}{p_2^s})}.\frac{1}{p_3^s-1}+\frac{1}{(1-\frac{1}{p_1^s})(1-\frac{1}{p_2^s})(1-\frac{1}{p_3^s})}.\frac{1}{p_4^s-1}+....}$

در پایین بیشترین استفاده از مقادیر تابع زتاریمان که عمومیت دارند نشان داده می‌شود.

صفرهای تابع زتای ریمان

تابع زتاریمان در اعداد صحیح منفی صفر دارد (به معادلهٔ تابع توجه کنید) به این صفرها، صفرهای بدیهی گویند آنها فقط جزئی اند به این خاطر اثبات وجود آن‌ها آسان است. برای مثال از رابطه گاما که در پایین امده است. صفرهای غیر بدیهی که در نظر گرفته می‌شود بیشتر با توجه به دلیل اینکه توزیع آن‌ها نه تنها کم قابل درک است حتی مهم‌تر از آن اینست که به صورت حیرت آوری رگه‌ای در پرسش‌های ریاضی باز می‌کند. می دانیم که هر صفر غیر بدیهی تابع زتاریمان در نوار باز {s ∈ C: 0 <Re(s) <1}، که نوار بحرانی نام دارد. فرضیه ریمان اظهار می‌دارد که هر صفر غیر بدیهی دارای Re(s) = 1/2 است. در قضیه تابع زتاریمان، {s ∈ C: Re(s) = 1/2} خط بحرانی نامیده می‌شود. جایگاه صفرهای تابع زتاریمان، اهمیت بسیاری در نظریه اعداد دارد. از حقیقت اینکه تمام صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارند، یک می‌توان نظریه اعداد اول را استنتاج کرد. و یک نتیجه بهتر اینست که:

${\displaystyle \sigma \ge 1-\frac{1}{57.45(\log |t|{)}^{3/2}(\log \log |t|{)}^{1/3}}.}$

قوی‌ترین نتیجه از این بحث اینست که را می‌توان درستی نظریه ریمان را انتظار داشت که نتایج بسیار ژرفی در نظریه اعداد دارد. این معلوم است که تعداد نامتناهی نوار بحرانی وجود دارد. لیتل‌وود نشان داد که اگر دنباله (γ_n) قسمت موهومی و همه صفرهای صفحه بالایی را شامل می‌شود که:

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\gamma }_{n+1}-{\gamma }_n=0.}$

قضیه نوار بحرانی ادعا می‌کند که درصد مثبتی از صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارد. در نوار بحرانی، صفر با کوچک‌ترین قسمت موهومی غیر منفی 1/2+i14.13472514... مستقیماً از معادلهٔ تابعی دیده می‌شود که صفر غیر بدیهی متقارن اند حول Re(s) = 1/2 اگر چه ζ(s)=ζ(s*)* برای تمام اعداد مختلط s ≠ 1 بکار می‌رود که صفرهای تابع زتاریمان حول قسمت حقیقی متقارن و موجودند. گادفری هرلد هاردی اثبات کرد تباع زتای ریمان بی‌نهایت صفر دارد.(هاورد و. ایوز، صفحهٔ ۲۵۸)- امروزه اثبات فرضیه ریمان که به RH معروف است مهمترین مسئله اثبات نشده ریاضی است و برای اولین اثبات صحیح یک میلیون دلار جایزه تعیین شده‌است .

تابع زتا، معادلهٔ تابعی زیر را مشخص می‌کند:

${\displaystyle \zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)}$

که برای تمام sهای در C\{0,1}. معتبر است (صدق می‌کند)، در اینجا منظور از Γ همان تابع گاماست این فرمول برای ساختن آنالیز پیوسته بکار می‌رود. در S = 1، تابع زتا مانند مانده در قطب 1 است.معادله همچنین نشان می‌دهد که تابع زتا، صفر بدیهی از -2 , -4 , … دارد. همچنین وجود دارد نمونه‌ای متقارن از معادلهٔ تابع که در همان تعریف اولیه را می‌دهد

${\displaystyle \xi (s)={\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s).}$

این معادله به‌وسیلهٔ این معادله بدست آمده‌است:

${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s).}$

معکوس

معکوس تابع زتا از سری دریکله روی معادلهٔ موبیوس نتیجه می‌شود.

${\displaystyle \frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}}$

برای هر عدد مختلط s با ${\displaystyle \mathrm{\Re }(s)>1}$

انتگرال‌های نوع ملین

تبدیل ملین از یک تابع fe (x) به صورت زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle \{\mathcal{M}f\}(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)x^s\frac{dx}{x}}$

در ناحیه‌ای که انتگرال تعریف می‌شود، تعبیرهای متفاوتی برای تابع زتا در تبدیل ملین وجود دارد. اگر قسمت حقیقی S بزرگ‌تر از 1 باشد داریم:

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)=\left\{\mathcal{M}\left(\frac{1}{\exp (x)-1}\right)\right\}(s)}$

با حذف جمله اول بسط سری توانی از 1/(exp(x)& حول صفر، ما می‌توانیم در دیگر نواحی نیز تابع زتا را بدست آوریم با جزئیات در نوار بحرانی خواهیم داشت:

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)=\left\{\mathcal{M}\left(\frac{1}{\exp (x)-1}-\frac{1}{x}\right)\right\}(s)}$

و وقتی قسمت حقیقی بین 0 , -1 باشد داریم:

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)=\left\{\mathcal{M}\left(\frac{1}{\exp (x)-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right)\right\}(s)}$

و ما می‌توانیم همچنین پیدا کنیم جملاتی را که با اعداد اول رابطه دارند. اگر π(x) یک تابع محاسبه اعداد اول باشد پس

${\displaystyle \log \zeta (s)=s{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\pi (x)}{x(x^s-1)}dx}$

برای مقادیری با ${\displaystyle \mathrm{\Re }(s)>1}$

${\displaystyle \frac{\log \zeta (s)}{s}-\omega (s)=\left\{\mathcal{M}\pi (x)\right\}(-s)}$

که

${\displaystyle \omega (s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\pi (s)}{x^{s+1}(x^s-1)}dx}$

یک مشابه تبدیل ملین مستلزم اینست که تابع J(x) محاسبه‌ای اعداد اول ریمان که اعداد ( p ) اول توانی را محاسبه می‌کند با وزن 1/nپس ${\displaystyle J(x)=\sum \frac{\pi (x^{1/n})}{n}}$

${\displaystyle \frac{\log \zeta (s)}{s}=\left\{\mathcal{M}J\right\}(-s)}$

فرمول این تعبیر می‌تواند برا حل تئوری اعداد اول استفاده شود. به‌وسیلهٔ معکوس تبدیل ملین کار کردن با تابع محاسبه اعداد اول ریمان آسانتر است و می‌تواند با استفاده از آن به‌وسیله معکوس موبیوس بهبود یابد.

• تابع زتای ددکیند