حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 8 دقیقه
لینک کوتاه

تابع هذلولوی

یکی از انواع توابع در ریاضیات

توابع هُذلولوی، هُذلولی، یاتوابع هیپربولیک (به فرانسوی: hyperbolique)، از توابع پرکاربرد در ریاضیات می‌باشند که روابط حاکم بر آنها شبیه مثلثات است، با این تفاوت که خطوط مثلثاتی با توجه به دایره‌ای که شعاع آن واحد می‌باشد تعریف می‌شوند، ولی توابع هذلولوی (هذلولی) با توجه به هذلولی متساوی‌الساقین تعریف می‌گردند. از تابع‌های پایه‌ای آن sinh (خوانده می‌شود: سینوس هذلولوی یا هیپربولیک) و cosh (کسینوس هذلولوی) هستند که دیگر توابع را مانند tanh (تانژانت هذلولوی) می‌سازند. این توابع در انتگرالها، معادلات دیفرانسیل خطی و همچنین معادله لاپلاس بسیار ظاهر می‌شوند. همانند توابع مثلثاتی که دارای معکوس‌اند، این توابع نیز دارای معکوس‌اند و با پیش‌وندهای arc نمایش داده می‌شوند. مانند: arcsinh

تابع هذلولوی
در تعریف این توابع، منحنی سمت راست هذلولی متساوی‌الساقین را در نظر می‌گیریم که در این صورت داریم: x = cosh a و y = sinh a و در یک رابطه کلی خواهیم داشت: cosh 2 ⁡ x − sinh 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
تابع هذلولوی

تابع‌های هیپربولیک برای توصیف حرکت موج در اجسام کشسان، شکل خطوط انتقال نیروی برق، توزیع دما در پره‌های فلزی که لوله‌های داغ را سرد می‌کنند، خم‌های تعقیب و هندسهٔ نظریهٔ نسبیت عام به کار می‌روند.

فهرست

  • ۱ تعاریف
  • ۲ روابط مفید
  • ۳ معکوس توابع
  • ۴ مشتق‌ها
  • ۵ انتگرال‌های استاندارد
  • ۶ پیوند به بیرون
  • ۷ منابع

تعاریف

توابع هایپربولیک از این قراراند:

sinh, cosh و tanh
csch, sech and coth
sinh ⁡ x = e x − e − x 2 {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
cosh ⁡ x = e x + e − x 2 {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x − e − x 2 e x + e − x 2 = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x = e x + e − x 2 e x − e − x 2 = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = 2 e x + e − x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
csch ⁡ x = 1 sinh ⁡ x = 2 e x − e − x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}

رابطهٔ توابع هایپربولیک با توابع مثلثلتی چنین است:

sinh ⁡ x = − i sin ⁡ i x {\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
cosh ⁡ x = cos ⁡ i x {\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
tanh ⁡ x = − i tan ⁡ i x {\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
coth ⁡ x = i cot ⁡ i x {\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
sech x = sec ⁡ i x {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
csch x = i csc i x {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}

که در آن i یکهٔ موهومی با تعریف i = −۱ است.

روابط مفید

c o s h x {\displaystyle coshx}

و s e c h x {\displaystyle sechx}
توابعی زوج و بقیه فرد هستند:

sinh ⁡ ( − x ) = − sinh ⁡ x cosh ⁡ ( − x ) = cosh ⁡ x tanh ⁡ ( − x ) = − tanh ⁡ x coth ⁡ ( − x ) = − coth ⁡ x sech ⁡ ( − x ) = sech ⁡ x csch ⁡ ( − x ) = − csch ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}

همچنین داریم:

arsech ⁡ x = arcosh ⁡ 1 x arcsch ⁡ x = arsinh ⁡ 1 x arcoth ⁡ x = artanh ⁡ 1 x {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}

متناظر با روابط مثلثاتی داریم:

cosh 2 ⁡ x − sinh 2 ⁡ x = 1 {\textstyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\\end{aligned}}}
sech 2 ⁡ x = 1 − tanh 2 ⁡ x csch 2 ⁡ x = coth 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\\\end{aligned}}}

مجموع دو عبارت:

cosh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ x sinh ⁡ y + cosh ⁡ x cosh ⁡ y sinh ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ x sinh ⁡ y + sinh ⁡ x cosh ⁡ y {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+y)&=\sinh x\sinh y+\cosh x\cosh y\\\sinh(x+y)&=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y\end{aligned}}}

مشخصاً

cosh ⁡ ( 2 x ) = sinh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x = 2 sinh 2 ⁡ x + 1 = 2 cosh 2 ⁡ x − 1 sinh ⁡ ( 2 x ) = 2 sinh ⁡ x cosh ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}}

مجموع و تفاضل c o s h x {\displaystyle coshx}

و s i n h x {\displaystyle sinhx}

cosh ⁡ x + sinh ⁡ x = e x cosh ⁡ x − sinh ⁡ x = e − x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}

معکوس توابع

a r c s i n h x = sinh − 1 ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle arcsinhx=\sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
a r c c o s h x = cosh − 1 ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 {\displaystyle arccoshx=\cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
a r c t a n h x = tanh − 1 ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) ; | x | < 1 {\displaystyle arctanhx=\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1}

مشتق‌ها

d d x sinh ⁡ x = cosh ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
d d x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
d d x tanh ⁡ x = 1 − tanh 2 ⁡ x = sech 2 ⁡ x = 1 / cosh 2 ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
d d x coth ⁡ x = 1 − coth 2 ⁡ x = − csch 2 ⁡ x = − 1 / sinh 2 ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
d d x   csch x = − coth ⁡ x   csch x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} \,x=-\coth x\ \operatorname {csch} \,x\,}
d d x   sech x = − tanh ⁡ x   sech x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} \,x=-\tanh x\ \operatorname {sech} \,x\,}
d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d d x artanh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d d x arcoth x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

انتگرال‌های استاندارد

برای فهرست کاملی از این انتگرالها، فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک را ببینید.

∫ sinh ⁡ ( a x ) d x = a − 1 cosh ⁡ ( a x ) + C ∫ cosh ⁡ ( a x ) d x = a − 1 sinh ⁡ ( a x ) + C ∫ tanh ⁡ ( a x ) d x = a − 1 ln ⁡ ( cosh ⁡ ( a x ) ) + C ∫ coth ⁡ ( a x ) d x = a − 1 ln ⁡ ( sinh ⁡ ( a x ) ) + C ∫ sech ⁡ ( a x ) d x = a − 1 arctan ⁡ ( sinh ⁡ ( a x ) ) + C ∫ csch ⁡ ( a x ) d x = a − 1 ln ⁡ ( tanh ⁡ ( a x 2 ) ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
∫ d u a 2 + u 2 = sinh − 1 ⁡ ( u a ) + C ∫ d u u 2 − a 2 = cosh − 1 ⁡ ( u a ) + C ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 tanh − 1 ⁡ ( u a ) + C ; u 2 < a 2 ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 coth − 1 ⁡ ( u a ) + C ; u 2 > a 2 ∫ d u u a 2 − u 2 = − a − 1 sech − 1 ⁡ ( u a ) + C ∫ d u u a 2 + u 2 = − a − 1 csch − 1 ⁡ | u a | + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}

پیوند به بیرون

  • معکوس توابع هیپربولیک
آخرین نظرات
  • توابع
  • توابع
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.