تابع پله‌ای

تابعی مثل ${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{\chi }_{A_i}(x)}$

for all real numbers ${\displaystyle x}$

که ${\displaystyle n\ge 0}$

در این تعریف، فاصله‌های ${\displaystyle A_i}$

1. فاصله‌ها گسسته هستند، ${\displaystyle A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }}$
   برای ${\displaystyle i\ne j}$
2. اتحاد فاصله‌ها برابر کل خط حقیقی (محور حقیقی) است، ${\displaystyle {\cup }_{i=0}^n{A}_i=\mathbb{R}.}$
   .

در واقع، اگر نقطه شروعمان متفاوت باشد، می‌توان مجموعه‌ای از فاصله‌های مختلف را در نظر گرفت که فرض‌ها در مورد آن‌ها صدق کنند. برای مثال، تابع پله

${\displaystyle f=4{\chi }_{[-5,1)}+3{\chi }_{(0,6)}}$

را می‌توان به شکل زیر نوشت

${\displaystyle f=0{\chi }_{(-\mathrm{\infty },-5)}+4{\chi }_{[-5,0]}+7{\chi }_{(0,1)}+3{\chi }_{[1,6)}+0{\chi }_{[6,\mathrm{\infty })}.}$

• یک تابع ثابت مثال کوچکی از یک تابع پله است. در نتیجه، تنها یک فاصله وجود دارد، ${\displaystyle A_0=\mathbb{R}}$
  .
• تابع هویساید (H(x یک تابع پله مهم است. در پس برخی از آزمون‌های سیگنال یک مفهوم ریاضی نهفته است، مثل آنهایی که برای بدست آوردن پاسخ پله یک سیستم دینامیکی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

• تابع مستطیلی، صورت نرمال شده تابع قوطی یک مثال از تابع پله واحد ساده است و برای مدل کردن تابع پالس مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مثال‌های اشتباه

• تابع قسمت صحیح با توجه به این مقاله یک تابع پله نیست، زیرا دارای تعداد بینهایت فاصله است. ولی، برخی توابه پله‌ای تعریف می‌کنند که دارای تعداد بینهایت فاصله است. * .

• جمع و ضرب دو تابع پله‌ای یک تابع پله‌ای است. حاصلضرب یک تابع پله‌ای با یک عدد نیز همچنان یک تابع پله‌ای است. در نتیجه تابع پله‌ای بر روی اعداد حقیقی یک جبر را تشکیل می‌دهد.
• یک تابع پله‌ای تنها تعداد متناهی از اعداد را می پذیرد. اگر فاصله‌های ${\displaystyle A_i,}$
  ، به ازای ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n,}$
  در تعریف بالا از تابع پله متفاوت باشند و جمع آن محور حقیقی باشد، آنگاهبه ازای ${\displaystyle x\in A_i}$
  داریم ${\displaystyle f(x)={\alpha }_i}$
• انتگرال لبسگو یک تابع پله ${\displaystyle f=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{\chi }_{A_i}}$
  برابر ${\displaystyle \int fdx=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i\ell (A_i),}$
  است که ${\displaystyle \ell (A)}$
  طول ${\displaystyle A,}$
  است و در اینجا فرض می کنیم که کل فاصله‌های ${\displaystyle A_i}$
  دارای طول متناهی هستند. در واقع این تساوی (که به ما به عنوان تعریف به آن نگاه می کنیم) می‌توانند اولین قدم در ساخت انتگرال لبسگو هستند.

• تابع پله‌ای هوی‌ساید