حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
لینک کوتاه

تبدیل فوریه زمان-گسسته

تبدیلِ فوریهٔ زمان-گسسته‌ (به انگلیسی: Discrete-time Fourier Transform, DTFT) یکی از انواع تبدیل فوریه است. با استفاده از این تبدیل، تابعی که معمولاً در حوزه زمان تعریف می‌شود و گسسته است به تابعی دیگر در حوزه فرکانس تبدیل می شود (تابع ورودی برای تبدیل DTFT باید گسسته باشد). این تابع یا سیگنال ورودی معمولاً با نمونه‌برداری از یک تابع پیوسته مانند صدای انسان پدید می‌آیند.

تبدیل فوریه
تبدیل فوریه پیوسته
سری فوریه
تبدیل فوریه گسسته
تبدیل فوریه گسسته‌زمان
تبدیل‌های مرتبط

تعریف

اگر x [ n ] , n ∈ Z {\displaystyle x[n],\;n\in \mathbb {Z} }

تابعی گسسته با مقادیر حقیقی یا مختلط باشد، آنگاه تبدیل گسسته زمانی فوریه آن چنین تعریف می‌شود:

X ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − i ω n {\displaystyle X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}}

جدول تبدیل گسسته‌زمان فوریه

حوزه زمان
x [ n ] {\displaystyle x[n]\,}
حوزه فرکانس
X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,}
توضیحات
δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]\!}
1 {\displaystyle 1\!}
δ [ n − M ] {\displaystyle \delta [n-M]\!}
e − i ω M {\displaystyle e^{-i\omega M}\!}
M عدد صحیح
∑ m = − ∞ ∞ δ [ n − M m ] {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\,}
∑ m = − ∞ ∞ e − i ω M m = 1 M ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω 2 π − k M ) {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {1}{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {\omega }{2\pi }}-{\frac {k}{M}}\right)\,}
M عدد صحیح
u [ n ] {\displaystyle u[n]\!}
1 1 − e − i ω {\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}\!}
e − i a n {\displaystyle e^{-ian}\!}
2 π δ ( ω + a ) {\displaystyle 2\pi \delta (\omega +a)\,}
a عدد حقیقی
cos ⁡ ( a n ) {\displaystyle \cos(an)\!}
π [ δ ( ω − a ) + δ ( ω + a ) ] {\displaystyle \pi \left[\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right]}
a عدد حقیقی
sin ⁡ ( a n ) {\displaystyle \sin(an)\!}
π i [ δ ( ω − a ) − δ ( ω + a ) ] {\displaystyle {\frac {\pi }{i}}\left[\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)\right]}
a عدد حقیقی
r e c t [ ( n − M / 2 ) M ] {\displaystyle \mathrm {rect} \left[{(n-M/2) \over M}\right]}
sin ⁡ [ ω ( M + 1 ) / 2 ] sin ⁡ ( ω / 2 ) e − i ω M / 2 {\displaystyle {\sin[\omega (M+1)/2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M/2}}
M عدد صحیح
sinc ⁡ [ ( a + n ) ] {\displaystyle \operatorname {sinc} [(a+n)]}
e i a ω {\displaystyle e^{ia\omega }\!}
a عدد حقیقی
W ⋅ sinc 2 ⁡ ( W n ) {\displaystyle W\cdot \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}
tri ⁡ ( ω 2 π W ) {\displaystyle \operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}
عدد حقیقی W
0 < W ≤ 0.5 {\displaystyle 0<W\leq 0.5}
W ⋅ sinc ⁡ [ W ( n + a ) ] {\displaystyle W\cdot \operatorname {sinc} [W(n+a)]}
rect ⁡ ( ω 2 π W ) ⋅ e j a ω {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)\cdot e^{ja\omega }}
اعداد حقیقی W, a
0 < W ≤ 1 {\displaystyle 0<W\leq 1}
{ 0 n = 0 ( − 1 ) n n elsewhere {\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}}
j ω {\displaystyle j\omega }
فیلتر مشتق‌گیر
W ( n + a ) { cos ⁡ [ π W ( n + a ) ] − sinc ⁡ [ W ( n + a ) ] } {\displaystyle {\frac {W}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}
j ω ⋅ rect ⁡ ( ω π W ) e j a ω {\displaystyle j\omega \cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}
اعداد حقیقی W, a
0 < W ≤ 1 {\displaystyle 0<W\leq 1}
1 π n 2 [ ( − 1 ) n − 1 ] {\displaystyle {\frac {1}{\pi n^{2}}}[(-1)^{n}-1]}
| ω | {\displaystyle |\omega |\!}
{ 0 ; n  odd 2 π n ; n  even {\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\mbox{ odd}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\mbox{ even}}\end{cases}}}
{ j ω < 0 0 ω = 0 − j ω > 0 {\displaystyle {\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}
تبدیل هیلبرت
C ( A + B ) 2 π ⋅ sinc ⁡ [ A − B 2 π n ] ⋅ sinc ⁡ [ A + B 2 π n ] {\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}
اعداد حقیقی A, B
عدد مختلطC

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «DTFT». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸.

آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.