حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 3 دقیقه
لینک کوتاه

ترانهاده

در جبر خطی ترانهاده یک ماتریس مانند A ماتریس دیگری است که با نماد A (به شکل‌های دیگر A′، A یا A نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است: [ A ] i × j = [ A T ] j × i {\displaystyle [A]_{i\times j}=[A^{T}]_{j\times i}}

ماتریس ترانهاده

به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر؛

در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.

فهرست

  • ۱ مثال‌ها
  • ۲ خواص ترانهاد
  • ۳ ماتریس‌های خاص
  • ۴ جستارهای وابسته
  • ۵ پیوند به بیرون

مثال‌ها

  • [ 1 2 ] T = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}
  • [ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}
  • [ 1 2 3 4 5 6 ] T = [ 1 3 5 2 4 6 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;}

خواص ترانهاد

برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند

  • ( A T ) T = A {\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,}
  • ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,}
  • ( A B ) T = B T A T {\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
  • ماتریس مربعی A وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر A وارون‌پذیر باشد
  • ( c A ) T = c A T {\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
  • det ( A T ) = det ( A ) {\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,}
  • ضرب داخلی دو ماتریس a و b می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.
a ⋅ b = a T b , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,}

که در نمادگذاری اینشتینai b نوشته می‌شود.

  • ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,}
  • اگر A یک ماتریس مربعی باشد مقدار ویژه این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است.

ماتریس‌های خاص

ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد

A T = A . {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .\,}

ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد است که:

G G T = G T G = I n , {\displaystyle \mathbf {GG} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {G} ^{\mathrm {T} }\mathbf {G} =\mathbf {I} _{n},\,}
&nbsp؛ که I ماتریس همانی است. G = G.

ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده می‌شود

A T = − A . {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A} .\,}

همیوغ ترانهاده ماتریس A، به شکل A، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ آن.

A ∗ = ( A ¯ ) T = ( A T ) ¯ . {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })}}.}

جستارهای وابسته

  • ماتریس وارون‌پذیر

پیوند به بیرون

  • کلاس درس دانشگاه ام‌آی‌تی درباره جبر خطی
  • ترانهاده، mathworld.wolfram.com
  • ترانهاده، planetmath.org
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.