توزیع لاگ-نرمال

لاگ-نرمال
	تابع چگالی احتمال ; بعضی از توابع چگالی لاگ-نرمال با پارامتر همانی اما پارامترهای متفاوت
	تابع توزیع تجمعی ; تابع توزیع تجمیعی توزیع لاگ-نرمال (با )
نماد
پارامترها	,;
تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
چندک
میانگین
میانه
مُد
واریانس
چولگی
کشیدگی
آنتروپی
تابع مولد گشتاور	، تنها برای اعداد با قسمت حقیقی غیرمثبت تعریف شده‌است متن را ببینید.
تابع مشخصه	نمایش به صورت مجانبی واگرا است، اما برای اهداف عددی کافی می‌باشد.
اطلاع فیشر
روش گشتاورها	,;

توزیع لاگ-نرمال (به انگلیسی: log-normal یا lognormal) در نظریه احتمال نوعی توزیع احتمال پیوسته برای یک متغیر تصادفی است، که لگاریتم آن به صورت نرمال توزیع شده‌است.

از این رو اگر متغیر تصادفی $X$ به صورت لاگ-نرمال توزیع شده باشد، آنوقت $Y = ln(X)$ دارای توزیع نرمال است. به بیان دیگر، اگر $Y$ دارای توزیع نرمال باشد، آنوقت تابع نمایی $Y$ ، یعنی $X = exp(Y)$ دارای توزیع لاگ-نرمال است. متغیر تصادفی که به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است، فقط مقادیر مثبت و حقیقی را می‌پذیرد.

رابطه بین توزیع‌های نرمال و لاگ-نرمال. اگر

Y=\mu +\sigma Z

به صورت نرمال توزیع شده باشد، آنوقت

X\sim e^{Y}

به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است.

توزیع لاگ-نرمال مدلی مفید و مناسب برای اندازه‌گیری‌ها در علوم دقیق و مهندسی، مثل پزشکی، اقتصاد و دیگر عناوین است (مثلا انرژی، غلظت، طول، بازدهی مالی، و دیگر سنجه‌ها).

به این توزیع، بعضی مواقع توزیع گالتون (به انگلیسی: Galton distribution) هم می‌گویند که به افتخار فرانسیس گالتون نامگذاری شده‌است. توزیع لاگ-نرمال با دیگر اسامی مثل مک آلیستر (به انگلیسی: McAlister), جبرات (به انگلیسی: Gibrat) و کاب – داگلاس (به انگلیسی: Cobb–Douglas) نیز مرتبط است.

یک فرایند لاگ-نرمال، یک فهم آماری از حاصل‌ضرب چندین متغیر تصادفی مستقل است، که همه آن‌ها مثبت هستند. این موضوع از طریق درنظرگرفتن قضیه حد مرکزی در دامنه لاگ قابل توجیه است. توزیع لاگ-نرمال همان توزیع احتمال با آنتروپی حداکثری برای متغیر تصادفی $X$ است که در آن میانگین و واریانس $ln(X)$ از قبل معین بوده‌است.

تعاریف

تولید و پارامترها

فرض کنید که $Z$

یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال استاندارد باشد، و همچنین فرض کنید که

\mu

و

\sigma >0

دو عدد حقیقی باشند. آنوقت توزیع متغیر تصادفی

$X=e^{\mu +\sigma Z}$

یک توزیع لاگ-نرمال با پارامترهای $\mu$

و

\sigma

نامیده می‌شود. این پارامترها مقدار چشمداشتی (یا میانگین) و انحراف معیار برای لگاریتم طبیعی متغیر

X

هستند، و نه خود

X

.

پانویس

↑ "List of Probability and Statistics Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-04-26. Retrieved 2020-09-13.
↑ Weisstein, Eric W. "Log Normal Distribution". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-09-13.
↑ "1.3.6.6.9. Lognormal Distribution". www.itl.nist.gov. Retrieved 2020-09-13.
↑ Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), "14: Lognormal Distributions", Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979
↑ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model" (PDF). Journal of Econometrics. 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Archived from the original (PDF) on 2016-03-07. Retrieved 2011-06-02. Table 1, p. 221.

منابع

[:0-1] "List of Probability and Statistics Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-04-26. Retrieved 2020-09-13.

[:1-2] Weisstein, Eric W. "Log Normal Distribution". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-09-13.

[:2-3] "1.3.6.6.9. Lognormal Distribution". www.itl.nist.gov. Retrieved 2020-09-13.

[JKB-4] Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), "14: Lognormal Distributions", Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979

[5] Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model" (PDF). Journal of Econometrics. 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Archived from the original (PDF) on 2016-03-07. Retrieved 2011-06-02. Table 1, p. 221.

تابع چگالی احتمال بعضی از توابع چگالی لاگ-نرمال با پارامتر همانی $\mu$ اما پارامترهای متفاوت $\sigma$
تابع توزیع تجمعی تابع توزیع تجمیعی توزیع لاگ-نرمال (با $\mu =0$ )
نماد	$\operatorname {Lognormal} (\mu ,\,\sigma ^{2})$
پارامترها	$\mu \in (-\infty ,+\infty )$ , $\sigma >0$
تکیه‌گاه	$x\in (0,+\infty )$
تابع چگالی احتمال	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
تابع توزیع تجمعی	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}{\Big ]}$
چندک	$\exp(\mu +{\sqrt {2\sigma ^{2}}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1))$
میانگین	$\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)$
میانه	$\exp(\mu )$
مُد	$\exp(\mu -\sigma ^{2})$
واریانس	$[\exp(\sigma ^{2})-1]\exp(2\mu +\sigma ^{2})$
چولگی	$(\exp(\sigma ^{2})+2){\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}$
کشیدگی	$\exp(4\sigma ^{2})+2\exp(3\sigma ^{2})+3\exp(2\sigma ^{2})-6$
آنتروپی	$\log _{2}(\sigma e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }})$
تابع مولد گشتاور	، تنها برای اعداد با قسمت حقیقی غیرمثبت تعریف شده‌است متن را ببینید.
تابع مشخصه	نمایش $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$ به صورت مجانبی واگرا است، اما برای اهداف عددی کافی می‌باشد.
اطلاع فیشر	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/2\sigma ^{4}\end{pmatrix}}$
روش گشتاورها	$\mu =\log \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right)$ , $\sigma ^{2}=\log \left({\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1\right)$