توزیع لاگ-نرمال

توزیع لاگ-نرمال (به انگلیسی: log-normal یا lognormal) در نظریه احتمال نوعی توزیع احتمال پیوسته برای یک متغیر تصادفی است، که لگاریتم آن به صورت نرمال توزیع شده‌است.

لاگ-نرمال

تابع چگالی احتمال بعضی از توابع چگالی لاگ-نرمال با پارامتر همانی ${\displaystyle \mu }$ اما پارامترهای متفاوت ${\displaystyle \sigma }$
تابع توزیع تجمعی تابع توزیع تجمیعی توزیع لاگ-نرمال (با ${\displaystyle \mu =0}$ )
نماد	${\displaystyle \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)}$
پارامترها	${\displaystyle \mu \in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}$ , ${\displaystyle \sigma >0}$
تکیه‌گاه	${\displaystyle x\in (0,+\mathrm{\infty })}$
تابع چگالی احتمال	${\displaystyle \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{{\left(\ln x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right)}$
تابع توزیع تجمعی	${\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}[\frac{\ln x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }]}$
چندک	${\displaystyle \exp (\mu +\sqrt{2{\sigma }^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(2p-1))}$
میانگین	${\displaystyle \exp \left(\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right)}$
میانه	${\displaystyle \exp (\mu )}$
مُد	${\displaystyle \exp (\mu -{\sigma }^2)}$
واریانس	${\displaystyle [\exp ({\sigma }^2)-1]\exp (2\mu +{\sigma }^2)}$
چولگی	${\displaystyle (\exp ({\sigma }^2)+2)\sqrt{\exp ({\sigma }^2)-1}}$
کشیدگی	${\displaystyle \exp (4{\sigma }^2)+2\exp (3{\sigma }^2)+3\exp (2{\sigma }^2)-6}$
آنتروپی	${\displaystyle {\log }_2(\sigma e^{\mu +\frac{1}{2}}\sqrt{2\pi })}$
تابع مولد گشتاور	، تنها برای اعداد با قسمت حقیقی غیرمثبت تعریف شده‌است متن را ببینید.
تابع مشخصه	نمایش ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^n}{n!}{e}^{n\mu +n^2{\sigma }^2/2}}$ به صورت مجانبی واگرا است، اما برای اهداف عددی کافی می‌باشد.
اطلاع فیشر
روش گشتاورها	${\displaystyle \mu =\log \left(\frac{\mathrm{E}[X{]}^2}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]+\mathrm{E}[X{]}^2}}\right)}$ , ${\displaystyle {\sigma }^2=\log \left(\frac{\mathrm{Var}[X]}{\mathrm{E}[X{]}^2}+1\right)}$

از این رو اگر متغیر تصادفی X به صورت لاگ-نرمال توزیع شده باشد، آنوقت Y = ln(X) دارای توزیع نرمال است. به بیان دیگر، اگر Yدارای توزیع نرمال باشد، آنوقت تابع نمایی Y، یعنی X = exp(Y) دارای توزیع لاگ-نرمال است. متغیر تصادفی که به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است، فقط مقادیر مثبت و حقیقی را می‌پذیرد.

توزیع لاگ-نرمال مدلی مفید و مناسب برای اندازه‌گیری‌ها در علوم دقیق و مهندسی، مثل پزشکی، اقتصاد و دیگر عناوین است (مثلا انرژی، غلظت، طول، بازدهی مالی، و دیگر سنجه‌ها).

به این توزیع، بعضی مواقع توزیع گالتون (به انگلیسی: Galton distribution) هم می‌گویند که به افتخار فرانسیس گالتون نامگذاری شده‌است. توزیع لاگ-نرمال با دیگر اسامی مثل مک آلیستر (به انگلیسی: McAlister), جبرات (به انگلیسی: Gibrat) و کاب – داگلاس (به انگلیسی: Cobb–Douglas) نیز مرتبط است.

یک فرایند لاگ-نرمال، یک فهم آماری از حاصل‌ضرب چندین متغیر تصادفی مستقل است، که همه آن‌ها مثبت هستند. این موضوع از طریق درنظرگرفتن قضیه حد مرکزی در دامنه لاگ قابل توجیه است. توزیع لاگ-نرمال همان توزیع احتمال با آنتروپی حداکثری برای متغیر تصادفی X است که در آن میانگین و واریانس ln(X) از قبل معین بوده‌است.