حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
لینک کوتاه

توزیع لاگ-نرمال

توزیع لاگ-نرمال (به انگلیسی: log-normal یا lognormal) در نظریه احتمال نوعی توزیع احتمال پیوسته برای یک متغیر تصادفی است، که لگاریتم آن به صورت نرمال توزیع شده‌است.

لاگ-نرمال
تابع چگالی احتمال
توزیع لاگ-نرمال

بعضی از توابع چگالی لاگ-نرمال با پارامتر همانی μ
توزیع لاگ-نرمال
اما پارامترهای متفاوت σ
توزیع لاگ-نرمال
تابع توزیع تجمعی
توزیع لاگ-نرمال

تابع توزیع تجمیعی توزیع لاگ-نرمال (با μ = 0
توزیع لاگ-نرمال
)
نماد Lognormal ⁡ ( μ , σ 2 )
توزیع لاگ-نرمال
پارامترها μ ∈ ( − ∞ , + ∞ )
توزیع لاگ-نرمال
,
σ > 0
توزیع لاگ-نرمال
تکیه‌گاه x ∈ ( 0 , + ∞ )
توزیع لاگ-نرمال
تابع چگالی احتمال 1 x σ 2 π   exp ⁡ ( − ( ln ⁡ x − μ ) 2 2 σ 2 )
توزیع لاگ-نرمال
تابع توزیع تجمعی 1 2 + 1 2 erf ⁡ [ ln ⁡ x − μ 2 σ ]
توزیع لاگ-نرمال
چندک exp ⁡ ( μ + 2 σ 2 erf − 1 ⁡ ( 2 p − 1 ) )
توزیع لاگ-نرمال
میانگین exp ⁡ ( μ + σ 2 2 )
توزیع لاگ-نرمال
میانه exp ⁡ ( μ )
توزیع لاگ-نرمال
مُد exp ⁡ ( μ − σ 2 )
واریانس [ exp ⁡ ( σ 2 ) − 1 ] exp ⁡ ( 2 μ + σ 2 )
چولگی ( exp ⁡ ( σ 2 ) + 2 ) exp ⁡ ( σ 2 ) − 1
کشیدگی exp ⁡ ( 4 σ 2 ) + 2 exp ⁡ ( 3 σ 2 ) + 3 exp ⁡ ( 2 σ 2 ) − 6
آنتروپی log 2 ⁡ ( σ e μ + 1 2 2 π )
تابع مولد گشتاور ، تنها برای اعداد با قسمت حقیقی غیرمثبت تعریف شده‌است متن را ببینید.
تابع مشخصه نمایش ∑ n = 0 ∞ ( i t ) n n ! e n μ + n 2 σ 2 / 2
به صورت مجانبی واگرا است، اما برای اهداف عددی کافی می‌باشد.
اطلاع فیشر ( 1 / σ 2 0 0 1 / 2 σ 4 )
روش گشتاورها μ = log ⁡ ( E ⁡ [ X ] 2 Var ⁡ [ X ] + E ⁡ [ X ] 2 )
,
σ 2 = log ⁡ ( Var ⁡ [ X ] E ⁡ [ X ] 2 + 1 )

از این رو اگر متغیر تصادفی X به صورت لاگ-نرمال توزیع شده باشد، آنوقت Y = ln(X) دارای توزیع نرمال است. به بیان دیگر، اگر Yدارای توزیع نرمال باشد، آنوقت تابع نمایی Y، یعنی X = exp(Y) دارای توزیع لاگ-نرمال است. متغیر تصادفی که به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است، فقط مقادیر مثبت و حقیقی را می‌پذیرد.

رابطه بین توزیع‌های نرمال و لاگ-نرمال. اگر Y = μ + σ Z
به صورت نرمال توزیع شده باشد، آنوقت X ∼ e Y
به صورت لاگ-نرمال توزیع شده‌است.

توزیع لاگ-نرمال مدلی مفید و مناسب برای اندازه‌گیری‌ها در علوم دقیق و مهندسی، مثل پزشکی، اقتصاد و دیگر عناوین است (مثلا انرژی، غلظت، طول، بازدهی مالی، و دیگر سنجه‌ها).

به این توزیع، بعضی مواقع توزیع گالتون (به انگلیسی: Galton distribution) هم می‌گویند که به افتخار فرانسیس گالتون نامگذاری شده‌است. توزیع لاگ-نرمال با دیگر اسامی مثل مک آلیستر (به انگلیسی: McAlister), جبرات (به انگلیسی: Gibrat) و کاب – داگلاس (به انگلیسی: Cobb–Douglas) نیز مرتبط است.

یک فرایند لاگ-نرمال، یک فهم آماری از حاصل‌ضرب چندین متغیر تصادفی مستقل است، که همه آن‌ها مثبت هستند. این موضوع از طریق درنظرگرفتن قضیه حد مرکزی در دامنه لاگ قابل توجیه است. توزیع لاگ-نرمال همان توزیع احتمال با آنتروپی حداکثری برای متغیر تصادفی X است که در آن میانگین و واریانس ln(X) از قبل معین بوده‌است.

فهرست

  • ۱ تعاریف
    • ۱.۱ تولید و پارامترها
  • ۲ پانویس
  • ۳ منابع

تعاریف

تولید و پارامترها

فرض کنید که Z

یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال استاندارد باشد، و همچنین فرض کنید که μ
و σ > 0
دو عدد حقیقی باشند. آنوقت توزیع متغیر تصادفی

X = e μ + σ Z

یک توزیع لاگ-نرمال با پارامترهای μ

و σ
نامیده می‌شود. این پارامترها مقدار چشمداشتی (یا میانگین) و انحراف معیار برای لگاریتم طبیعی متغیر X
هستند، و نه خود X
.

پانویس

  1. ↑ "List of Probability and Statistics Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-04-26. Retrieved 2020-09-13.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Log Normal Distribution". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-09-13.
  3. ↑ "1.3.6.6.9. Lognormal Distribution". www.itl.nist.gov. Retrieved 2020-09-13.
  4. ↑ Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), "14: Lognormal Distributions", Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979
  5. ↑ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model" (PDF). Journal of Econometrics. 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Archived from the original (PDF) on 2016-03-07. Retrieved 2011-06-02. Table 1, p. 221.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.