دنباله

در بیشتر منابع، اندیس‌های دنباله باید شامل تمام اعداد طبیعی باشند (دنباله نامتناهی باشد) یا این که می‌توانند اعداد طبیعی کوچکتر از ${\displaystyle n}$

تعریف دقیق دنباله

در نظریهٔ مجموعه‌ها، دنباله به صورت تابعی تعریف می‌شود که دامنهٔ آن اعداد طبیعی باشد: ${\displaystyle f:\mathbb{N}\to A}$

نمایش

برای نمایش دنباله‌ها از ${\displaystyle ⟨⟩}$

${\displaystyle ⟨5,5,3,8⟩}$

${\displaystyle (5,5,3,8)}$

${\displaystyle ⟨2,4,\dots ⟩}$

معمولاً برای جلوگیری از کژتابی، جملهٔ عمومی نیز نوشته می‌شود:

${\displaystyle ⟨2,4,\dots ,2n,\dots ⟩}$

${\displaystyle ⟨2,4,\dots ,2^n,\dots ⟩}$

در بسیاری از منابع، به جای ${\displaystyle ⟨⟩}$

نمایش با جملهٔ عمومی

به ضابطهٔ یک دنباله مانند ${\displaystyle \{a_n\}}$

${\displaystyle \{a_n\}=\{n^2\}}$

${\displaystyle a_n=n^2}$

گاهی (با این که این نمایش معمولاً برای دنباله‌های نامتناهی استفاده می‌شود)، حدود اندیس‌ها را نیز مشخص می‌کنند:

${\displaystyle \{a_n\}=\{n^2{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}}$

نمایش بازگشتی

در این روش، مقدار هر جمله از دنباله وابسته به جملات قبلی آن است. مثل دنبالهٔ فیبوناچی:

بعضی مواقع می‌توان دنبالهٔ بازگشتی را ساده کرد و نمایش جمله‌ٔ عمومی آن را پیدا کرد. به عنوان مثال دنبالهٔ

را می‌توان به صورت ${\displaystyle a_n=n^2}$

تابع آکرمن مثالی ست از مواقعی که نمی‌توان دنباله را ساده کرد: ${\displaystyle a_n=A(n,n)}$

نمایش نموداری

دنباله‌ها نیز مانند بقیهٔ توابع می‌توانند به صورت نموداری نمایش داده شوند. مثال:

یکنوایی دنباله‌ها

از آن جایی که دنباله نوعی تابع است، تعریف یکنوایی توابع در این مورد نیز همان است.

شرط یکنوایی

این قضیه بیان می‌دارد که یک دنباله صعودی ست اگر و تنها اگر هر جملهٔ آن از جملهٔ قبلی بزرگتر باشد:

${\displaystyle a\nearrow ⟺\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:a_n⩾a_{n-1}}$

و نزولی نیز به صورت مشابه:

${\displaystyle a\searrow ⟺\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:a_n⩽a_{n-1}}$

شرط اکیداً صعودی و اکیداً نزولی نیز به شکل مشابه.

کران‌دار

یک دنباله «از بالا کران‌دار» است اگر کران بالا داشته باشد؛ به طور دقیق‌تر ${\displaystyle \mathrm{\exists }M\in {\mathbb{R}}^{+}:a_n⩽M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}}$

همچنین یک دنباله «از پایین کران‌دار» است اگر ${\displaystyle \mathrm{\exists }M\in {\mathbb{R}}^{+}:M⩽a_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}}$

در نهایت، یک دنباله «کران‌دار» است اگر از بالا و پایین کران‌دار باشد. به عبارتی دیگر: ${\displaystyle \mathrm{\exists }M\in {\mathbb{R}}^{+}:|a_n|⩽M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}}$

تصاعد حسابی

در این نوع از دنباله‌ها، اختلاف هر جمله با جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.

تصاعد هندسی

در این نوع از دنباله‌ها، نسبت هر جمله به جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.

دنبالهٔ چند‌جمله‌ای

دنبالهٔ چند‌جمله‌ای دنباله‌ای ست که هر جملهٔ آن ضریب تابعی چند‌جمله‌ای باشد. مثال:

دنبالهٔ ${\displaystyle a_n=⟨5,5,3,8⟩}$

مجموع جزئی

برای یک دنباله مانند ${\displaystyle \{a_n\}}$

${\displaystyle s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\dots +a_n}$

عنصر nـُم سری فوق را «جمع جزئی»ِ n عضو اول دنباله می‌گویند.

حد مجموع جزئی در بی‌نهایت همان سری دنباله است

مفهوم جمع جزئی شباهت بسیاری با انتگرال دارد. در واقع، انتگرالِ یک تابع به کمک حد این جمع تعریف می‌شود.

از آنجا که دنباله یک تابع گسسته می‌باشد، باید حد آن در بی‌نهایت را اختصاصاً تعریف کرد.

اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را «همگرا» می‌گوییم و به اصطلاح، دنباله به آن مقدار میل می‌کند.

به عنوان مثال دنبالهٔ ${\displaystyle a_n=\frac{1}{n}}$

در غیر این صورت دنباله را «واگرا» می‌گوییم. یک دنبالهٔ واگرا می‌تواند به ∞ یا -∞ میل کند یا به هیچ مقداری میل نکند.

به عنوان مثال دنبالهٔ ${\displaystyle a_n=(-1{)}^n}$

و دنبالهٔ ${\displaystyle a_n=2^n}$

گاهی حد دنباله‌ای مانند ${\displaystyle \{a_n\}}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle a_n=A}}$

با وجود این که کلمات «سری» و «دنباله» عموماً مترادف یکدیگر هستند، در ریاضیات مفاهیم متفاوتی دارند.

سری متناظر با یک دنباله به صورت ${\displaystyle a_1+a_2+\dots }$

جمع اعضای یک دنبالهٔ واگرا تعریف نشده است. به عبارت دقیق‌تر، سری واگرا ست.

از معروف‌ترین مثال‌های این حالت می‌توان به سری گرندی:

${\displaystyle 1-1+1-1\dots =?}$

و این سری اشاره کرد:

${\displaystyle 1+2+3+\dots =\mathrm{\infty }}$

جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا نیز ممکن است تعریف نشده باشد.

سری همساز از مثال‌های معروف این حالت است:

${\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots =\mathrm{\infty }}$

همچنین جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا می‌تواند همگرا باشد.

این سری از مثال‌های معروف این حالت است:

${\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}+\dots =2}$

• حد دنباله (و دنباله‌های همگرا و واگرا)
• دنباله فیبوناچی
• دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح
• عدد مثلثی
• مربع کامل
• نظریه نامتغیر

• ریچارد سیلورمن (۱۳۸۵)، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی جدید (جلد اول)، ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده، تهران: انتشارات علمی فنی، شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۶-۸