رنگ‌آمیزی فهرستی گراف

G را یک گراف در نظر بگیرید و برای هر راس مانند v از گراف، (L(v را لیستی از رنگ‌های موجود برای آن رأس، تعریف کنید. رنگ‌آمیزی لیستی یک رنگ‌آمیزی انتخابی است که به هر راس مانند v یک رنگ دلخواه از لیست رنگ‌های آن راس ((L(v) متناظر می‌کند. به یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب می‌گوییم هرگاه هیچ دو راس مجاوری همرنگ نباشند. یک گراف را k-لیست رنگ‌پذیر می‌نامیم هرگاه مستقل از این که لیست k رنگیِ رنگ‌های هر راس چیست، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب برای آن وجود داشته‌باشد. عدد رنگی لیستی ((ch(G) گراف G، کوچکترین عدد k است که گراف k، G رنگ‌پذیر است.

به بیان دقیق‌تری، برای یک تابع مانند f که به هر راس مانند v یک عدد صحیح مثبت، (f(v را نسبت می‌دهد، گراف G را f-لیست رنگ‌پذیر می‌نامند، هرگاه مستقل از این که لیست (f(v رنگیِ هر راس مانند v شامل چه رنگ‌هایی باشد، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب برای آن وجود داشته‌باشد. به‌طور خاص اگر برای هر راس مانند f(v) = k ،v باشد، گراف k-لیست رنگ‌پذیر می‌باشد.

فرض کنید q یک عدد صحیح مثبت باشد و G یک گراف کامل دوبخشی K_q,q باشد. رنگ‌های موجود را با q عدد دو رقمی مختلف در مبنای q نمایش می‌دهیم. در بخشی از این گراف دو بخشی که q راس دارد، هر راس از گراف را متناظر با مجموعه‌ای از رنگ‌ها در نظر می‌گیریم که رقم باارزش آن‌ها یکسان است. برای مثال به راس شمارهٔ i ام مجموعه رنگ‌های {i0,i1, … ,iq} متناظر می‌کنیم. در بخش دیگر از این گراف دو بخشی، به هر راس از q راس این گراف یک مجموعه از رنگ‌ها مانند {... ,0a, 1b, 2c}، به طوری که رقم باارزش آن‌ها متفاوت باشد. به تعداد q تا مجموعه با چنین خاصیتی وجود دارد، زیرا تعداد q-تایی‌های (...,a,b,c) برابر با q است. برای مثال اگر q = 2 باشد، گراف دو بخشی K_2,4 خواهیم داشت. در این گراف دو راس واقع در یک بخش این گراف مجموعه رنگ‌های {00,01}, {10,11} و 4 راس واقع در بخش دیگر گراف مجموعه رنگ‌های {00,10}, {00,11}, {01,10}, {01,11} را دارند. تصویر روبرو یک مثال بزرگ‌تر را به ازای q = 3 نشان می‌دهد.

عدد رنگی لیستی گراف G از q کوچک‌تر یا مساوی نیست. مستقل از این که چه رنگی برای هر راس انتخاب شود، در بخش بزرگ‌تر راسی که لیست رنگی آن برابر با مجموعه رنگ‌های بخش کوچک‌تر است، نمی‌تواند رنگ شود. برای مثال اگر راس با لیست رنگی {00,01} با 01 و راس با لیست رنگی {10,11} با 10 رنگ شود، سپس راس با لیست رنگی {01,10} با هیچ‌کدام از دو رنگ 01 و 10 نمی‌تواند رنگ شود. بنابراین عدد رنگی لیستی G حداقل q + 1 است.

به‌طور مشابه، اگر ${\displaystyle n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-1}{k})}$

عدد رنگی لیستی (ch(G از قواعد زیر برای گراف G با n راس، عدد رنگی (X(G و بیشینه درجه (Δ(G :

1. (ch(G) ≥ χ(G. یک گراف k لیست رنگ‌پذیر، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب دارد، پس این گراف یک رنگ‌آمیزی معمولی با K رنگ دارد.
2. (ch(G معمولاً، توسط عدد رنگی محدود نمی‌شود، به عبارتی ((ch(G) ≤ f(χ(G به‌طور معمول برای هیچ تابعی مانند f برقرار نخواهد بود. به‌طور خاص، همان‌طور که مثال‌های گراف کامل دوبخشی نشان می‌دهد، گراف‌هایی وجود دارد که χ(G) = 2 ولی (ch(G تقریباً بزرگی دارند.
3. (ch(G) ≤ χ(G) ln(n
4. ch(G) ≤ Δ(G) + 1.
5. اگر G یک گراف مسطح باشد ch(G) ≤ 5.
6. اگر G یک گراف مسطح دوبخشی باشد ch(G) ≤ 3.

دو مسئله الگوریتمی که مطرح شده‌است:

1. k-لیست رنگ‌پذیری. تصمیم می‌گیرد که گراف داده شده، به ازای k داده شده، k لیست رنگ‌پذیر است یا نه.
2. (j, k)-لیست رنگ‌پذیری. تصمیم می‌گیرد که گراف داده شده f-لیست رنگ‌پذیر است یا نه، به ازای یک تابع داده شده ${\displaystyle f:V\to \{j,\dots ,k\}}$

مسئلهٔ k-لیست رنگ‌پذیری در گراف‌های دوبخشی برای هر k ≥ 3 ${\displaystyle {\mathrm{\Pi }}_2^p}$

می‌توان در زمان خطی مشخص کرد که یک گراف 2-لیست رنگ‌پذیر است یا نه. برای این کار به‌طور مکرر راس‌های درجه صفر یا یک را حذف می‌کنیم تا جایی که به یک گراف با بیشینه درجه‌ی دو برسیم. گراف اولیه k-لیست رنگ‌پذیر است اگر و تنها اگر گراف ساده شده یک دور زوج یا یک گراف تتا باشد که از سه مسیر با نقطهٔ پایانی مشترک تشکیل شده‌باشد، که طول 2 تا از آن‌ها دو و طول سومی زوج باشد.

• List edge-coloring