مارپیچ لگاریتمی

اسپیرال لگاریتمی نخستین بار توسط رنه دکارت توصیف شد و بعدها توسط یاکوب برنولی به صورت گسترده مورد پژوهش قرار گرفت که وی آنها را مارپیچ لاله عباسی Spira mirabilis، "the marvelous spiral" نامید.

اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.

در دستگاه مختصات قطبی ${\displaystyle (r,\theta )}$

${\displaystyle r=a{e}^{b\theta }}$

یا

${\displaystyle \theta =\frac{1}{b}\ln (r/a),}$

با عدد e که مبنای طبیعی لگاریتم است و ${\displaystyle a}$

در حالت پارامتریک منحنی به شرح زیر است

${\displaystyle x(t)=r(t)\cos (t)=a{e}^{bt}\cos (t)}$

${\displaystyle y(t)=r(t)\sin (t)=a{e}^{bt}\sin (t)}$

با عدد حقیقی ${\displaystyle a}$

خصوصیات اسپیرال این است که φ میان

مماس و radial line در نقطه ${\displaystyle (r,\theta )}$

${\displaystyle \arccos \frac{⟨\mathbf{r}(\theta ),{\mathbf{r}}^{\prime }(\theta )⟩}{\Vert \mathbf{r}(\theta )\Vert \Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(\theta )\Vert }=\arctan \frac{1}{b}=\varphi .}$

• مارپیچ طلایی

• ویکی‌پدیا انگلیسی