مربع

یک چهارضلعی محدب یک مربع است اگر و تنها اگر یکی از شرط‌های زیر را داشته باشد:

• یک راست‌گوشه با دو ضلع مجاور برابر.
• یک چهارضلعی با چهار لبهٔ برابر (ضلع برابر) و چهار زاویهٔ راست.
• یک متوازی‌الأضلاع با یک زاویهٔ راست و دو ضلع مجاور برابر.
• یک لوزی با یک زاویهٔ راست.
• یک لوزی با چهار زاویهٔ برابر.
• یک چهارضلعی که قطرهای آن با هم برابرند و بر یکدیگر عمودند و هم دیگر به دو نیم تقسیم می‌کنند (عمودمنصف اند) مانند یک لوزی با قطرهای برابر.
• یک مستطیل که طول چهار ضلع آن با هم برابر است.

پیرامون یک مربع با ضلع ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle P=4\ell }$

و مساحت آن برابر است با:

به صورت سنتی در ریاضی به توان دوم یک عبارت مربع آن عبارت گفته می‌شود مانند رابطهٔ بالا که در آن مساحت برابر توان دوم ضلع بود. در ادامه چنین کاربردی عبارت مربع کامل نیز به واژه نامهٔ ریاضیات افزوده شد به معنی به توان دو رساندن.

رابطه مساحت مربع به روش مثلثاتی

مربع چون یک چندضلعی منتظم است،مساحت آن را می توان به صورت مساحت چندضلعی منتظم که به روش مثلثاتی بدست می آید نیز نوشت که به رابطه به این صورت است:${\displaystyle \frac{1}{4}n{a}^2\cot \frac{\pi }{n}=a^2\cot \frac{\pi }{4}=a^2.(1+\tan \frac{\pi }{4})=1.a^2=a^2}$

${\displaystyle \frac{1}{4}n{a}^2=\frac{1}{4}4a^2=a^2}$

${\displaystyle \cot \frac{\pi }{4}=1.0137086425=1}$

پس مساحت مربع همراوه با مجذور ضلع آن برابر است.

گوشه‌های یک مربع که مرکز آن بر روی مبدأ مختصات قرار دارد و طول لبه‌های آن (ضلع) ۲ است بر روی نقطه‌های (±۱، ±۱) جای می‌گیرد. درون این چهارگوش از تمامی نقطه‌های x_i, y_i ساخته شده در حالی که −۱ <x_i <۱ و −۱ <y_i <۱

معادلهٔ زیر:

${\displaystyle max(x^2,y^2)=1}$

توضیح دهندهٔ یک مربع با طول لبه‌های ۲ و مرکزی در مبدأ مختصات است. این معادله به این معنا است که x یا y کمتر از یک اند. در این حالت شعاع دایرهٔ محیطی مربع برابر با نصف قطر مربع است و مقدار آن برابر با ${\displaystyle \sqrt{2}}$

${\displaystyle x^2+y^2=2.}$

پویانمایی روبرو چگونگی کشیدن یک مربع با کمک یک پرگار و سَتّاره را نمایش می‌دهد.

همچنین نگاه کنید به سه بخش کردن زاویه

یک مربع حالت ویژه‌ای از یک لوزی (ضلع‌های برابر، زاویه‌های روبروی برابر)، یک بادبادک (دو جفت ضلع مجاور برابر)، یک متوازی‌الأضلاع (ضلع‌های روبروی موازی)، یک چهارضلعی یا چهاروجهی و یک راست‌گوشه (ضلع‌های روبروی برابر، زاویه‌های راست) است. به این معنی که مربع همهٔ ویژگی این شکل‌های هندسی نام برده شده را دارد.

در هندسهٔ نااقلیدوسی مربع‌ها بیشتر چهارگوش‌هایی با چهار ضلع و زاویهٔ برابرند. در هندسهٔ کروی، مربع، چهارگوشی است که هر ضلع آن کمانی از دایرهٔ بزرگ است که فاصلهٔ برابر دارند در نتیجه در زاویه‌های برابر با هم برخورد می‌کنند. بر خلاف مربع در هندسهٔ مسطحه، زاویه‌های مربع بزرگتر از زاویهٔ راست گوشه است. هرچه مربع کروی بزرگتر باشد زاویه‌های بزرگتری هم دارد.

در هندسهٔ هذلولی گون مربع با زاویهٔ راست اصلاً وجود ندارد. در این هندسه مربع‌ها زاویه‌هایی کوچکتر از زاویهٔ راست دارند. هرچه مربع هذلولی گون بزرگتر باشد زاویه‌های آن کوچکتر خواهد بود.

چند نمونه:

• مکعب
• قضیهٔ فیثاغورس