مشتق‌گیری لگاریتمی

مشتق‌گیری لگاریتمی برای تابع

• ${\displaystyle y=f(x)}$

معمولاً با گرفتن لگاریتم طبیعی (لگاریتم به پایهٔ عدد e) قدر مطلق دو طرف معادله آغاز می‌شود:

• ${\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|.}$

پس از گرفتن مشتق ضمنی:

• ${\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.}$

با ضرب دو طرف معادله در y عبارت 1/yحذف می‌شود و در دو طرف معادله تنها dy/dx می‌ماند:

• ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y\times \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=f^{\prime }(x).}$

دلیل استفاده از این روش این است که با استفاده از ویژگی‌ها و قضایای لگاریتم، می‌توان توابع پیچیده را برای مشتق‌گیری ساده کرد. مهمترین این ویژگی‌ها عبارتند از:

• ${\displaystyle \ln (ab)=\ln (a)+\ln (b),\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b),\ln (a^n)=n\ln (a).}$

تعمیم

توابع مرتبه بالاتر

ضرب‌ها

به دو طرف معادله لگاریتم طبیعی اعمال می‌شود

• ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$

تا ضرب‌ها به جمع تبدیل شوند:

• ${\displaystyle \ln (f(x))=\ln (g(x)h(x))=\ln (g(x))+\ln (h(x)).}$

با اعمال قاعده زنجیری و قاعده جمع

• ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)},}$

و پس از اعمال جبری و تبدیل y به تابعی از x، مشتق y به دست می‌آید:

• ${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=g(x)h(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}.}$

تقسیم‌ها

به دو طرف معادله لگاریتم طبیعی اعمال می‌شود

• ${\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}}$

تا تقسیم‌ها به تفریق تبدیل شوند

• ${\displaystyle \ln (f(x))=\ln (\frac{g(x)}{h(x)})=\ln (g(x))-\ln (h(x))}$

و با استفاده از قاعده زنجیری و قاعده جمع

• ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)},}$

و پس از اعمال جبری و تبدیل y به تابعی از x، مشتق y به دست می‌آید:

• ${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=\frac{g(x)}{h(x)}\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}.}$

پس از ضرب کردن و استفاده از مخرج مشترک، نتیجه همان است که اگر قاعده خارج قسمت مستقیماً بر ${\displaystyle f(x)}$

توان مرکب

برای تابعی به شکل

• ${\displaystyle f(x)=g(x{)}^{h(x)}}$

لگاریتم طبیعی توان را به ضرب تبدیل می‌کند:

• ${\displaystyle \ln (f(x))=\ln \left(g(x{)}^{h(x)}\right)=h(x)\ln (g(x))}$

با اعمال قاعده زنجیری و قاعده جمع

• ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)},}$

و پس از اعمال جبری و تبدیل y به تابعی از x، مشتق y به دست می‌آید:

• ${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)\times \{h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\}=g(x{)}^{h(x)}\times \{h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\}.}$

با بازنویسی f به عنوان تابع نمایی و اعمال قاعدهٔ زنجیری نیز می‌توان همین نتیجه را به دست آورد.

• فهرست اتحادهای لگاریتمی