معادلات کوشی-ریمان

فرض کنید f(x + iy) = u + iv یک تابع از یک مجموعه باز از اعداد مختلط ${\displaystyle \mathbb{C}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}}$

و

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=-\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}.}$

هستند، صدق کنند. با یک فرمول بندی مختلط طبیعی، بینش هندسی بهتری به وجود می‌آید:

${\displaystyle i\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}.}$

با توجه به معالات، اگر ${\displaystyle u}$

فرض کنید مختلط ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}}$

و ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}=-\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}}$

.

اکنون فرض کنید ${\displaystyle \overline{f}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=-\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}}$

و ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}}$

.

با ترکیب کردنشان با معادلات قبلی داریم:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}=0}$

.

این نشان می‌دهد که ${\displaystyle f}$

تابع f(z) = u(x, y) + i v(x, y) بر روی C را در نظر بگیرید. می‌خواهیم مشتق آن را در نقطهٔ z₀ محاسبه کنیم. می‌توانیم در جهت محور حقیقی به z₀ نزدیک شویم یا در جهت محور موهومی. اگر از مسیر اول برویم:

حالا این به شکل دو معادلهٔ دیفرانسیل است؛ بنابراین:

با استفاده از مسیر دوم داریم:

مجدداً این نیز به شکل دو معادلهٔ دیفرانسیل است، بنابراین

با برابر گرفتن این دو داریم

با برابر گرفتن بخش‌های حقیقی و موهومی، آنگاه

فرض کنید ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }z}=\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }z}=\frac{1}{2i}}$

همین‌طور

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\overline{z}}=\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }\overline{z}}=-\frac{1}{2i}.}$

با مشتقگیری از تابع ${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }z}=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }z}+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }z}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }\overline{z}}=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\overline{z}}+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }\overline{z}}.}$

نهایتاً با جاگذاری:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+\frac{1}{i}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\right)\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }\overline{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}-\frac{1}{i}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\right).}$

اگر قرار دهیم ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }\overline{z}}=0}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}+i\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}=-i\left(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}+i\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}\right),}$

که برابر با معادلات کوشی-ریمان است.

با در نظر کرقتن نمایش قطبی ${\displaystyle z=r{e}^{i\theta }}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }r}=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }\theta },}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }r}=-\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }\theta }.}$

و

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }r}=\frac{1}{ir}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }\theta }}$

که مشتقات روی ${\displaystyle r{e}^{i\theta }}$