معادله موج الکترومغناطیس

توزیع بار

توزیع بار نیازمند آن است که زمان سرعت تغییرات بار کل در یک حجم V با جریان خالص جاری در سطح بسته s برابر باشد:

${\displaystyle \underset{S}{\oint }\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}=-\frac{d}{dt}\underset{V}{\int }\rho \cdot dV}$

در اینجا J چگالی خالص (آمپر بر مترمربع) جریان در سطح بسته و ρ چگالی شارژ (کولن بر متر مکعب) در هر نقطه از حجم است. طبق قضیه دیورژانس این رابطه می‌تواند از فرم انتگرالی به دیفرانسیلی تبدیل شود.

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=-\frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}}$

قانون قبلی مداری آمپر به تصحیح ماکسول در شکل اصلی آن، قانون مداری آمپر با میدان مغناطیسی B بواسطه J رابطه دارد:

${\displaystyle \underset{C}{\oint }\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\underset{S}{\iint }\mu \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}}$

در اینجا S یک سطح باز محدود شده در خط منحنی C است. این شکل انتگرالی با بکار بردن قضیه استوکس می‌تواند به شکل دیفرانسیلی تبدیل شود:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}}$

تناقض بین قانون مداری آمپر و قانون توزیع بار: با گرفتن دیورژانس از هر دو طرف قانون مداری آمپر داریم:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})=\mathrm{\nabla }\cdot {\mu }_0\mathbf{J}}$

دیورژانس کرل هر میدان برداری، شامل میدان مغناطیسی B همیشه برابر صفر است:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})=0}$

با بهم پیوستن این دو معادله داریم:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot {\mu }_0\mathbf{J}=0}$

زیرا ${\displaystyle {\mu }_0}$

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=0}$

به‌هرحال با توجه به قانون توزیع بار داریم:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=-\frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}}$

بنابراین، همانند قانون مداری کیرشهف، قانون مداری آمپر تنها برای حفظ وضعیت درگیر چگالی بار ثابت باید پدیدار شود. (نباید مانند وضعیتی که در شارژ و دشارژ صفحه خازن رخ می‌دهد، باشد.)

تصحیح قانون مداری آمپر توسط ماکسول

ماکسول تصور می‌کرد که برقراری جریان در اتصال با قطبش خطی یک دی الکتریک است. توجیه این بسط واقعی جابجایی جریان چنانچه در زیر آمده؛ شرح قانون گاوس در شکل انتگرالی:

${\displaystyle \underset{S}{\oint }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho dV}$

در اینجا S سطح بسته در حجم V است. با بکار بردن قضیه دیورژانس این شکل انتگرالی می‌تواند به‌شکل دیفرانسیلی تبدیل شود:

${\displaystyle \underset{S}{\oint }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho dV}$

با مشتق‌گیری زمانی از هر دو طرف معادله و معکوس کردن دیفرانسیل در سمت چپ داریم:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot {\epsilon }_0\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{E}}{\mathrm{\partial }t}=\frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}}$

نتیجه‌گیری اخیر، در ادامه قانون مداری آمپر و معادله توزیع بار اظهار می‌کند که اینجا دواصل میدان مغناطیسی عملی است. چگالی جریان J که آمپر بنا نهاد، و جریان:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{D}}{\mathrm{\partial }t}={\epsilon }_0\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{E}}{\mathrm{\partial }t}}$

بنابر شکل درست و تصحیح شده قانون مداری آمپر، داریم:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{E}}{\mathrm{\partial }t}}$

فرضیه ماکسول مبنی بر اینکه نور یک موج الکترومغناطیس است

مقاله ۱۸۶۴ ماکسول نظریه الکترودینامیک میدان الکترومغناطیسی عنوان گرفت. وی قانون مداری آمپر را که قسمت سوم مقاله ۱۸۶۱ اش، در مورد خطوط (میدان) نیرو بود، به شکل اصلاح شده بکار برد.قسمت چهارم از مقاله اش نظریه الکترومغناطیس نور نامیده شد. ماکسول تغییر جریان را با چند معادله دیگر الکترومغناطیس ترکیب کرد و یک معادله موج با سرعت برابر با سرعت نور بدست آورد. او معتقد بود: این نتیجه برای نشان دادن اینکه نور و مغناطیس خاصیتهای مواد مشابه هستند، ظاهر می‌شود. و نور بنا بر قوانین الکترومغناطیس، یک اختلال الکترومغناطیسی منتشر شده در یک میدان است. استنتاج ماکسول از معادله موج الکترومغناطیس، در فیزیک جدید با روش‌های ساده‌تر، با نسخه تصحیح شده قانون مداری آمپر که با قانون القای فارادی ترکیب می‌شود، جایگزین شده بود. برای بدست آوردن معادله موج الکترومغناطیس در خلاء این روش‌های مدرن بکار میروند.

در اینجا ρ = 0 است، چون چگالی بار وجود ندارد. با کرل گرفتن از معادلات کرل، داریم:

با بکارگیری اتحاد برداری

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{V}\right)=\mathrm{\nabla }\left(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V}\right)-{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{V}}$

(در اینجا V هر تابع برداری در فضاست، که معادله را به معادله موج تبدیل می‌کند.

در اینجا ${\displaystyle c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2.99792458\times {10}^8}$

معادلات نسبیت می‌توانند به شکل هموردا نوشته شوند:

${\displaystyle ◻A^{\mu }=0}$

این همان چهار بردار پتانسیل است:

${\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,\mathbf{A}c)}$

با توجه به شرط لورنتس:

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mu }{A}^{\mu }=0}$

.

در اینجا

${\displaystyle ◻={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{t}^2}}$

عملگر دالامبر است. (مربع خطای تایپی نیست؛ این یک نماد درست برای این عملگر است.)

معادلات ماکسول در چهار بعد معادلات موج الکترومغناطیس از دو راه اصلاح شده اند؛ مشتق جایگزین شده با مشتق هموردا، و روش نوین که وابسته به پدیدار شدن انحناست.

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }{A}^{\beta }=0}$

در اینجا ${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }}$

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0}$

.

معادله موج الکترومغناطیس ناهمگن بار نقطه‌ای متغیر در واحد زمان، و چگالی جریان می‌تواند مانند یک چشمه موج الکترومغناطیس در خلاء عمل کند. معادله ماکسول می‌تواند به فرم معادله موج با چشمه‌ها نوشته شود. افزودن چشمه‌ها به معاله موج، معادلات دیفرانسیل جزئی ناهمگن میسازد.

معادله موج راه حل اصلی برای معادله موج الکترومغناطیس یک وضعیت خوب خطی از موج‌ها به شکل

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=g(\varphi (\mathbf{r},t))=g(\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})}$

و

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=g(\varphi (\mathbf{r},t))=g(\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})}$

است. درواقع تابع g در استدلال بدون مقدار φ، خوب عمل می‌کند. در اینجا فرکانس زاویه‌ای (رادیان بر ثانیه) و بردار موج است (رادیان بر متر). اگرچه تابع g می‌تواند وجود داشته باشد و اغلب یک موج سینوسی تک رنگ است، نباید سینوسی یا حتی دوره‌ای باشد. در عمل g نمی‌تواند دوره تناوب نامحدود داشته باشد، چون هر موج الکترومغناطیس واقعی باید همیشه یک اندازه محدود در فضا و زمان داشته باشد. بنابراین، و بر اساس نظریه تجزیه فوریه، یک موج واقعی باید ترکیبی باشد از موقعیت خوب یک سیستم نامحدود با فرکانس سینوسی. بعلاوه، به عنوان یک راه حل معتبر، بردارهای موج و فرکانس زاویه‌ای مستقل نیستند؛ آن‌ها باید به رابطه انتشار مرتبط باشند:

در اینجا K عدد موج و λ طول موج است.

وضعیت ثابت سینوسی تک رنگ

ساده‌ترین روش حل معادله موج از فرض کردن یک موج سینوسی تک فرکانس در حالت تفکیک پذیر آن بدست می‌آید:

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathrm{R}\mathrm{e}\{\mathbf{E}(\mathbf{r})e^{i\omega t}\}}$

• در اینجا ${\displaystyle i}$
  عدد موهومی است.
• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$
  فرکانس زاویه‌ای است(رادیان بر ثانیه).
• ${\displaystyle f}$
  فرکانس است(هرتز).
• و ${\displaystyle e^{i\omega t}=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)}$
  فرمول لئونارد اویلر است.

حل موج تخت

حل موج تخت سینوسی از معادله موج الکترومغناطیس یک صفحه و یک بردار نرمال تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathbf{n}=\frac{\mathbf{k}}{k}}$

.

حل موج رونده عرضی با معادله موج، به این صورت است:

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=E_0{e}^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}}$

و

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=B_0{e}^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}}$

در اینجا :${\displaystyle \mathbf{r}=(x,y,z)}$

تجزیه طیفی

چون معادلات ماکسول در خلاء، خطی حل می‌شوند، می‌توان آن‌ها را به موقعیتهای خوب سینوسی تجزیه کرد. این اساس روش تبدیلات فوریه برای حل معادله دیفرانسیل است. با حل سینوسی معادله موج الکترومغناطیس، داریم:

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)={\mathbf{E}}_0\cos (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+{\varphi }_0)}$

و

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)={\mathbf{B}}_0\cos (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+{\varphi }_0)}$

در اینجا :${\displaystyle t}$

${\displaystyle \omega }$

فرکانس زاویه ای(رادیان بر ثانیه)،

${\displaystyle \mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)}$

بردار موج(رادیان بر متر)،

و :${\displaystyle {\varphi }_0}$

${\displaystyle k=|\mathbf{k}|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }}$

به فرکانس زاویه‌ای وابسته است. در اینجا k عدد موج و λ طول موج است. طیف الکترومغناطیس، همچون تابع طول موج، یک طرح از بزرگی میدان (یا انرژی) است.

سایر روش‌ها

حل تحلیلی تقارن کروی یا استوانه‌ای معادله موج الکترومغناطیس نیز امکان‌پذیر است. در مختصات استوانه‌ای معادله موج می‌تواند به این صورت نوشته شود:

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{r}{\mathbf{E}}_0\cos (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+{\varphi }_0)}$

،

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{r}{\mathbf{E}}_0\sin (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+{\varphi }_0)}$

و

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{r}{\mathbf{B}}_0\cos (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+{\varphi }_0)}$

${\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{r}{\mathbf{B}}_0\sin (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+{\varphi }_0)}$

.

این معادلات می‌توانند به شکل تابع بسل در مختصات کروی بازنویسی شوند. در مختصات استوانه ای، حل معادله موج، تابع بسل معمولی عددی است.

نظریه و آزمایش

کاربردها

زندگی‌نامه‌ها

• آندره ماری آمپر
• آلبرت اینشتین
• مایکل فارادی
• هاینریش هرتز
• الیور هویساید
• جیمز کلرک ماکسول