نمودار کاکسیتر-دینکین
در هندسه، نمودار کاکسیتر-دینکین (Coxeter-Dynkin Diagram) گرافی است که یال‌هایش برچسب‌های عددی دارند و روابط فضایی بین مجموعه‌ای از آینه‌ها (یا ابرصفحه‌های انعکاس‌گر) را نمایش می‌دهند. این نمودارها ساختار یک زیبابین را توصیف می‌نمایند: هر گره (رأس) گراف، نمایش دهنده آینه و برچسب هر انشعاب، نشانگر مرتبهٔ زاویه دوجهی بین دو آینه است (روی یک وجه دامنه)، یعنی مقداری که باید در زاویه بین صفحات انعکاسی ضرب کرد تا به ۱۸۰ درجه برسد. انشعاب بدون برچسب به‌طور ضمنی مرتبه ۳ را نمایش می‌دهد (زاویه ۶۰ درجه).
هر نمودار نمایشگر یک گروه کاکسیتر است و گروه‌های کاکسیتر نیز برحسب نمودارهای متناظرشان طبقه‌بندی شده‌اند.
نمودارهای دینکین اشیائی هستند که ارتباط نزدیکی با نمودارهای کاکسیتر-دینکین دارند و از دو جنبه با آن‌ها متفاوت اند: اولین تفاوت این هست که در نمودارهای دینکین، انشعاباتی که برچسب «۴» یا بیشتر دارند جهت‌دارند، درحالی که نمودارهای کاسیتر بدون جهت اند؛ دومین تفاوت این است که نمودارهای دینکین باید در محدودیت (بلوری) دیگری نیز صدق کنند، یعنی تنها برچسب‌های مجاز برای انشعاب‌ها ۲، ۳، ۴ و ۶ است. نمودارهای دینکین در تناظر با دستگاه‌های ریشه‌ای قرار داشته و لذا در رده‌بندی جبرهای لی نیم-ساده نیز کاربرد دارند.
یادداشت‌ها
ارجاعات
منابع
- James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [۱], Googlebooks [۲]
- (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
- Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
- Coxeter, Regular Polytopes (1963), Macmillan Company
- Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Chapter 5: The Kaleidoscope, and Section 11.3 Representation by graphs)
- H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
- Norman Johnson, Geometries and Transformations, Chapters 11,12,13, preprint 2011
- N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [۳] [۴]
- Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336