پیوستگی یکنواخت

در ریاضیات، به بیان کلی می توان گفت که تابع f پیوسته یکنواخت (به انگلیسی: Uniformly Continuous) است اگر بتوان تضمین کرد که با نزدیک کردن x و y به میزان کافی به یکدیگر، f(x) و f(y) را به میزان دلخواه به همدیگر نزدیک نمود؛ برعکس پیوستگی عادی توابع، که در آن فاصله بیشینه بین f(x) و f(y) ممکن است به خود x و y وابسته باشد.

نمودار ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}}$

از بالا و پایین پنجره ${\displaystyle \text{height}\times \text{width}=2\epsilon \times 2\delta }$

فرار می کند، هرچقدر هم که ${\displaystyle \delta }$

کوچک باشد، تابع ${\displaystyle f(x)}$

پیوسته یکنواخت نخواهد بود. از سوی دیگر، تابع ${\displaystyle g(x)=\sqrt{x}}$

پیوسته یکنواخت است.

اگر توابع پیوسته روی دامنه متناهی بی کران باشند ممکن است به طور یکنواخت پیوسته نباشند همچون ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}}$

${\displaystyle (0,1)}$

${\displaystyle f(x)=x^2}$

گرچه که پیوستگی عادی را می توان برای توابع روی فضای توپولوژی تعریف نمود، ولی تعریف پیوستگی یکنواخت برای چنین توابعی نیازمند ساختارهای بیشتری‌ست. این مفهم به اندازه همسایگی‌های نقاط مجزا وابسته بوده، بنابراین نیازمند فضای متری یا در حالت کلی تر فضای یکنواخت است.