ولگشت

یکی از انواع معروف ولگشت، حالتی است که روی صفحهٔ مسطح و مشبک رخ می‌دهد. یک متحرک فرضی با شروع از یک گره، هر بار با احتمالی مشخص به گره‌ای دیگر می‌رود (قدم می‌زند). در ولگشت ساده، متحرک تنها مجاز است به گره‌های مجاور منتقل شود و در حالت ولگشت متقارن ساده بر روی شبکهٔ متناهی، احتمال انتقال متحرک به هر گرهٔ شبکه برابر است. مدل ولگشت مطرحی که بیشتر از همه مطالعه و شناخته شده‌است، ولگشت در صفحه مشبکی d- بعدی است:${\displaystyle z^d}$

مدل ولگشت روی صفحهٔ متناهی بعد، ولگشت متقارن کران دار ساده نام دارد. در این حالت احتمال انتقال قدم زن به خانه‌های مجاور به دلیل در نظر داشتن حاشیه و گوشه‌های صفحه به محل قدم زن بستگی دارد.

ابتدا سعی می‌کنیم مسئله را مجسم کنیم. یک نشان گر را در نقطه صفر روی محور قرار می‌دهیم و به کمک یک سکه شیر یا خط می‌اندازیم. اگر شیر آمد، نشان گر را یه خانه به سمت راست می‌بریم، اگر خط آمد، نشان گر را در خانهٔ سمت چپ می‌گذاریم. بعد از ۵ بار سکه انداختن، نشان گر می‌تواند در یکی از خانه‌های ۱ و -۱ و ۳ و -۳ و ۵ و -۵ باشد. اگر سه بار شیر بیاید و دو بار خط، نشان گر روی ۱ می‌رود. به ۱۰ حالت نشان گر می‌تواند به خانهٔ ۱ برود، و همچنین به ۱۰ حالت می‌تواند به -۱ برود (چون کاملاً متقارن است و حالت سه بار شیر آمدن و دو بار خط آمدن (حرکت به ۱) برابر با سه بار خط آمدن و دو بار شیر آمدن است (حرکت به -۱). ۵ حالت برای رفتن به خانهٔ ۳ است (با چهار بار شیر آمدن و یک بار خط آمدن) و ۵ حالت برای رفتن به -۳ (با چهار بار خط آمدن و یک بار شیر آمدن). تنها یک حالت برای رفتن به خانهٔ ۵ و -۵ است (۵ بار شیر آمدن – ۵ بار خط آمدن). در تصویر زیر حالت‌های ممکن نشان داده شده‌اند:

خطی در نظر بگیرید که در فاصله‌های برابر با اعداد صحیح مدرج شده‌است. حالت ساده و ملموس ولگشت را می‌توان روی این خط در نظر گرفت که از ${\displaystyle S_0=0}$

موقعیت متحرک پس از n گام، کجاست؟ مسلماً نمی‌توان موقعیت تصادفی متحرک را محاسبه کرد. اما می‌توان در مورد توزیع آن بحث کرد. به راحتی با استفاده از خاصیت جمع پذیری، می‌توان نشان داد که امید ریاضی یا متوسط سری ${\displaystyle S_n}$

همچنین با استفاده از استقلال گام‌ها نتیجه می‌شود که: ${\displaystyle E(S_n^2)=n}$

حال سؤال این است که ولگشتی که آزاد و رها باشد که برای همیشه قدم بزند چند بار از یه خط مشخص و محدود عبور می‌کند؟ در مدل ولگشت ساده روی محور اعداد صحیح، قدم زن از تمام نقاط به تعداد نامتناهی بار عبور می‌کند. این نتیجه اسم‌های گوناگونی دارد: پدیده عبور – از – سطح، بازگشت، پاکباختگی قمار باز. علت نامگذاری اسم آخر این است که قمار بازی با مقدار متناهی پول، در یک بازی عادلانه با یک «بانکی» با مقدار نامتناهی پول، بالاخره می‌بازد. شباهت این دو مسئله در این دید است که پول قمار بازمانند یک ولگشت عمل می‌کند و بالاخره به نقطه صفر می‌رسد، یعنی بالاخره بازی تمام می‌شود.

بعضی از نتایج بالا می‌تواند از مثلث پاسکال نیز بدست آید. تعداد هر قدم ممکن بعد از ${\displaystyle n}$

ارتباط این مدل با مثلث پاسکال برای ${\displaystyle n}$

از قضیه حد مرکزی و قانون لگاریتم‌های تکراری می‌توان ویژگی‌های جالبی از ولگشت ساده روی محور اعداد صحیح بدست آورد. مثلاً، قضیه حد مرکزی نتیجه می‌دهد که با افزایش ${\displaystyle N}$

ارتباط با زنجیرهٔ مارکوف

به مسئله ولگشت سادهٔ یک بعدی می‌توان به دیده زنجیره مارکوف نگریست که فضای حالات آن، اعداد صحیحِ ${\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,...}$

ولگشت در یک بعد با مثالی دیگر

فردی را تصور کنید که روی محور xها در نقطه صفر ایستاده‌است. این فرد هر بار می‌تواند به راست یا چپ حرکت کند، فارغ از اینکه در گام قبلی چه انتخابی داشته‌است.

فرض کنیم فرد n1 گام به سمت راست برمی‌دارد و هر گام به راست با احتمال p باشد، از طرفی هر گام به چپ هم با احتمال q باشد و در مجموع n2 گام هم به چپ بردارد.

اگر تعداد کل گام‌های فرد را N در نظر بگیریم داریم:

N=n1 + n2

p+q=۱

حال بیایید احتمال اینکه فرد پس از N قدم در خانهٔ i ام قرار بگیرد را بنویسیم:

pppppp...ppp * qqqq...qqqqqq

اگر هر گامی که فرد برمی‌دارد را بنویسیم و در پایان گام‌های چپ و راست را جداگانه بنویسیم، سطر بالا را خواهیم داشت که هر گام راست با احتمال p و هر گام چپ با احتمال q برداشته شده‌است و ما در پایان، n1 عدد گام به راست داریم هرکدام با احتمال p : ${\displaystyle p^{n_1}}$

و نیز n2 گام به چپ با احتمال q برای هر یک: ${\displaystyle q^{n_2}}$

در نهایت احتمال اینکه فرد بعد از طی کردن N گام در خانهٔ i ام باشد به صورت زیر است:

${\displaystyle P(N,i)=\sum _{n_1=0}^N(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n_1})p^{n_1}{q}^{n_2}}$

این رابطه را تعمیم می‌دهند و از نتیجه آن برای Nهای بزرگ و سیستم‌های آماری استفاده می‌کنند.

یک ول گشت، که اندازه گامش با توجه به یک توزیع نرمال متغیر است، به عنوان یک مدل برای داده‌های زمانی دنیای واقعی بکار می‌رود (مانند بازارهای مالی)

معادله یBlack–Scholes برای مدل‌سازی گزینهٔ قیمت (مثلا) از یک ول گشت گاوسی به عنوان فرض اساسی استفاده می‌کند.

در این‌جا، اندازهٔ گام، معکوس تجمعی توزیع نرمال ${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}^{-}1(\mathrm{Z},\mu ,\sigma )}$

اگر ${\displaystyle \mu }$

در حالت خاص که ${\displaystyle \mu }$

اثبات:

ول گشت گاوسی می‌تواند به عنوان مجموع دنباله ای از متغیرهای تصادفی توزیع شدهٔ غیر وابسته و یک جور، در نظر گرفته شود که X_i از معکوس تجمعی توزیع نرمال با میانگین برابر صفر و ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^n{X}_i}$

اما ما توزیع را برای جمع دو متغیر تصادفی که بطور نرمال توزیع شده‌اند و غیر وابسته هستند، داریم که به صورت زیر هستند:

Z = X + Y

(N (μ_X + μ_Y, σ_X + σ_Y اینجا

در مورد ما μ_X = μ_Y = 0 and σ_X = σ_Y = σ می‌دهد:

(N (0, 2σ

با استقراء پس از nگام خواهیم داشت:

(Z ~ N(0, nσ

برای گام‌های توزیع شده، با توجه به هر توزیعی با میانگین صفر، و یک واریانس محدود (نه لزوماً تنها یک توزیع نرمال)، جذر میانگین مربعی فاصله انتقالی، پس ازn مرحله، به‌صورت زیر است:

${\displaystyle \sqrt{E|S_n^2|}=\sigma \sqrt{n}}$

اما برای ولگشت گاوسی، این فقط انحراف معیار توزیع فاصله انتقالی پس از n مرحله می‌باشد.

بنابر این اگر μ صفر باشد، و جذر میانگین مربعی فاصله انتقالی هم یک انحراف معیار باشد، احتمال ۶۸٫۲۷٪ وجود دارد که جذر میانگین مربعی فاصله انتقالی، بعد از n گام بین ${\displaystyle \sigma \sqrt{n}}$

پخش غیرعادی

در سیستم‌های بی نظم، مانند پوشش‌های پر منفذ یا خود متشابه‌ها، ممکن است ${\displaystyle {\sigma }^2}$

پخش غیرعادی، هم چنین می‌تواند به صورت σ_r ~ Dt بیان شود که α پارامتر غیرعادی است.

برخی پخش‌ها در محیط تصادفی، حتی متناسب با یک توانی از لگاریتم زمان هستند. مثلاً Sinai`s walk یا Brox diffusion را ببینید.