توصیف‌های ریاضی میدان الکترومغناطیسی

معمول‌ترین توصیف میدان الکترومغناطیسی با استفاده از میدان‌های برداری دو و سه بعدی به نام میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی است. این میدان‌های برداری هر کدام یک مقدار تعریف شده در هر نقطه از فضا و زمان دراند و در نتیجه اغلب به عنوان توابعی از متخصات فضا و زمان در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، آنها اغلب به عنوان E(x, y, z, t) (میدان الکتریکی) و B(x, y, z, t) (میدان مغناطیسی) نوشته می‌شوند.

اگر تنها میدان الکتریکی (E) غیر صفر و ثابت در زمان باشد، گفته می‌شود یک میدان الکتروستاتیک است. اگر تنها میدان مغناطیسی (B) غیر صفر و ثابت در زمان باشد، گفته می‌شود میدان یک میدان مگنوستاتیک است. اما اگر یکی از میدان‌های الکتریکی یا مغناطیسی وابستگی به زمان داشته باشند، در این صورت دو میدان به شکل جفت‌شده و با به عنوان یک میدان الکترومغناطیسی و با استفاده از معادله‌های ماکسول توصیف می‌شوند.

معادلات ماکسول در رویکرد میدان برداری

رفتار میدانهای الکتریکی و مغناطیسی، چه در موارد الکتروستاتیک با مگنتوستاتیک یا الکترودینامیک (میدانهای الکترومغناطیسی) توسط معادلات ماکسول توصیف می‌شود:

معادله‌های ماکسول (میدان‌های برداری)
${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}$	قانون گاوس
${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0}$	قانون مغناطیسی گاوس
${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{B}}{\mathrm{\partial }t}}$	قانون القای فارادی
${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{E}}{\mathrm{\partial }t}}$	قانون آمپر

که در آن ρ چگالی بار است که می‌تواند (و اغلب) بستگی به زمان و موقعیت دارد ε₀ ثابت گذردهی خلأ است، μ₀ ثابت تراوایی خلأ و J جریان در واحد سطح و همچنین تابعی از زمان و موقعیت است. معادلات را با استفاده سیستم بین‌المللی مقادیر به این شکل می‌توان نوشت.

در بسیاری از موارد در استفاده و محاسبه میدانهای الکتریکی و مغناطیسی از این رویکرد استفاده می‌شود که ابتدا پتانسیل مرتبط محاسبه می‌شود: پتانسیل الکتریکی ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\mathrm{\partial }t}}$

${\displaystyle \mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}}$

معادلات ماکسول در فرمول‌بندی پتانسیل

این روابط می‌تواند در معادلات ماکسول جایگزین شود و آن را به شکل پتانسیل بیان کنید. قانون فارادی و قانون گاوس برای مغناطیس به جواب‌های بدیهی منجر می‌شوند (به عنوان مثال در مورد قانون گاوس برای مغناطیس ۰ = ۰). دو معادله دیگر ماکسول به این تبدیل می‌شوند.

معادله‌های ماکسول (فرمول‌بندی پتانسیل) ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\phi +\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\left(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}\right)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}$ ${\displaystyle \left({\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathbf{A}}{\mathrm{\partial }{t}^2}\right)-\mathrm{\nabla }\left(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }t}\right)=-{\mu }_0\mathbf{J}}$

این معادلات با هم به اندازه معادله‌های ماکسول قدرتمند و کامل هستند. علاوه بر این مسئله به کاهش اجزا نیز کمک می‌کند. میدانهای الکتریکی و مغناطیسی باهم شش بخش دارند. در فرمول‌بندی پتانسیل تنها چهار بخش برای حل وجود دارد: پتانسیل الکتریکی و سه بخش پتانسیل برداری. اما معادلات پیچیده‌تر از معادله‌های ماکسول با استفاده از میدانهای مغناطیسی و الکتریکی هستند.

مشابه فرمول‌بندی تنسوری دو شی یکی برای میدان و یکی برای جریان معرفی شده‌است. در جبر هندسی (GA) این‌ها چندبردار هستند. چندبردار میدان به عنوان بردار ریمان-سیلبرشتاین شناخته می‌شود و عبارت است از:

${\displaystyle \mathbf{F}=\mathbf{E}+Ic\mathbf{B}=E^k{\sigma }_k+Ic{B}^k{\sigma }_k}$

و چندبردار جریان عبارتست از:

${\displaystyle c\rho -\mathbf{J}=c\rho -J^k{\sigma }_k}$

که در آن در جبر فضای فیزیکی (APS) ${\displaystyle C{\ell }_{3,0}(\mathbb{R})}$

${\displaystyle \mathbf{\nabla }={\sigma }^k{\mathrm{\partial }}_k}$

معادلات ماکسول کاهش می‌یابد به تک معادله

معادله‌های ماکسول (فرمول‌بندی APS) ${\displaystyle \left(\frac{1}{c}{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}}+\mathbf{\nabla }\right)\mathbf{F}={\mu }_{0}c(c\rho -\mathbf{J}).}$

در سه بعد مشتق دارای یک ساختار خاص هستند که معرفی یک ضرب خارجی را ممکن می‌سازد:

${\displaystyle \mathbf{\nabla }\mathbf{F}=\mathbf{\nabla }\cdot \mathbf{F}+\mathbf{\nabla }\wedge \mathbf{F}=\mathbf{\nabla }\cdot \mathbf{F}+I\mathbf{\nabla }\times \mathbf{F}}$

• معادله موج الکترومغناطیس
• سرعت نور
• ثابت گذردهی خلأ
• ثابت تراوایی خلأ
• فضای رایگان
• میدان نزدیک و دور
• میدان الکترومغناطیسی
• تابش الکترومغناطیسی
• الکترودینامیک کوانتومی

• Warnick, Karl; Russer, Peter (2014). "Differential Forms and Electromagnetic Field Theory" (PDF). Progress In Electromagnetics Research. 148: 83–112. Archived from the original (PDF) on 20 July 2018. Retrieved 2 September 2018.
• Russer, Peter (2006). Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for Communications Engineering (2nd ed.). Artech House. ISBN 1-58053-907-6. (with worked problems in Warnick, Russer 2006 شابک ‎۱−۵۹۶۹۳−۰۹۶−۹)
• Hehl, Friedrich; Obukhov, Yuri (2003). Foundations of Classical Electrodynamics. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4222-6.