شرایط پیمانه لورنتس

در الکترومغناطیس، شرایط لورنتس معمولاً از طریق پتانسیل‌های تاخیری در محاسبه‌های میدان‌های الکترومغناطیسی وابسته به زمان استفاده می‌شود. به شرطی که: ${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mu }{A}^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0}$

که ${\displaystyle A^{\mu }}$

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }t}=0.}$

که ${\displaystyle \overrightarrow{A}}$

توجیهی که بلافاصله می‌توان از پیمانه لورنتس یافت، استفاده از معادله‌های ماکسول و رابطه بین پتانسیل برداری مغناطیسی و میدان مغناطیسی است: ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{B}}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\times -\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{A}}{\mathrm{\partial }t}}$

بنابراین داریم: ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{E}+\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{A}}{\mathrm{\partial }t})=0}$

از آنجایی که کرل مساوی صفر است، این بدان معناست که یک تابع ${\displaystyle \phi }$

به این ترتیب معادله معروف میدان الکتریکی به دست می‌آید:

${\displaystyle \overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{A}}{\mathrm{\partial }t}}$

این استنتاج می‌تواند برای هرکدام از معادله‌های دیگر ماکسول هم اعمال شود، ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}={\mu }_0\overrightarrow{J}+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{E}}{\mathrm{\partial }t}={\mu }_0\overrightarrow{J}-\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }t}-\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2\overrightarrow{A}}{\mathrm{\partial }{t}^2}}$

در نتیجه داریم:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }t})={\mu }_0\overrightarrow{J}-\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2\overrightarrow{A}}{\mathrm{\partial }{t}^2}+{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}}$

برای داشتن ناوردایی لورنتس، مشتق‌های زمانی و فضایی باید مثل هم رفتار کنند (یعنی از یک مرتبه باشند)، بنابراین مناسب است که شرط پیمانه لورنتس را برگزینیم که نتیجه زیر را در بر دارد:

${\displaystyle ◻\overrightarrow{A}=\left[\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{t}^2}-{\mathrm{\nabla }}^2\right]\overrightarrow{A}={\mu }_0\overrightarrow{J}}$

یک روش مشابه با تمرکز بر پتانسیل اسکالر الکتریکی و انتخاب همان پیمانه انتخاب شده نتیجه خواهد داد:

${\displaystyle ◻\phi =\left[\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{t}^2}-{\mathrm{\nabla }}^2\right]\phi =\frac{1}{{ϵ}_0}\rho .}$

این فرم‌ها ساده‌تر و متقارن تر از معادله‌های ناهمگن ماکسول هستند. همچنین توجه داشته باشید که پیمانه کولن مشکل ناوردایی لورنتس را رفع می‌کند اما با مشتق‌های مرتبه اول یک بخش گشتاوری باقی می‌گذارد. در اینجا ${\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt{{ϵ}_0{\mu }_0}}}$

زمانی که کار لورنتس منتشر شد، ابتدا توسط ماکسول مورد استقبال قرار نگرفت. ماکسول از آنجایی که بر روی چیزی که امروزه پیمانه کولن نامیده می‌شود کارمی کرد، مشتق نیروی الکترواستاتیک کولن را از معادله موج الکترومغناطیسی حذف کرده بود. پیمانه لورنتس پس از آن مشتق اول معادله موج الکترومغناطیسی را با معرفی اثر تاخیری نیروی کولن و وارد کردن آن در معادله موج الکترومغناطیسی درحضور میدان‌های الکتریکی با نوسان‌های زمانی نقض کرد که در مقاله لورنتس با عنوان "درباره نوسانات نور با جریانات الکتریکی" معرفی شد. کار لورنتس اولین متقارن سازی وکوتاه سازی معادله‌های ماکسول بعد از مقاله خود ماکسول که در سال ۱۸۶۵ منتشر کرد بود. در سال ۱۸۸۸ پتانسیل‌های تأخیری بعد از آزمایش‌های هنریک رودولف هرتز بر روی امواج الکترومغناطیسی به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفت. در سال ۱۸۹۵ نظریه پتانسیل‌های تأخیری، بعد از تفسیر اطلاعات جی.جی.تامسون از الکترون‌ها پیشرفت به سزایی کرد (بعد از بررسی‌هایی بر روی پدیده‌های الکتریکی که از توزیع بار الکتریکی و جریان الکتریکی وابسته به زمان به انتقال بار نقطه‌ای تغییر کرد).

• تثبیت پیمانه