فضای فشرده

در قرن نوزدهم، چندین خاصیت ریاضیاتی پراکنده و ناهمخوان شناخته شده بودند که بعدها مشخص شد پیامدهای فشردگی اند. از سوی دیگر، برنارد بولزانو (۱۸۱۷) می دانست که هر دنباله کراندار از نقاط (به عنوان مثال درون خط یا صفحه) زیر دنباله ای دارد که باید در نهایت به میزان دلخواهی به نقطه ای دیگر که به آن نقطه حدی می گویند میل کند. اثبات بولزانو وابسته به روش دو نیم کردن بود: دنباله مورد نظر درون بازه ای قرار می گرفت که آن بازه به دو بخش مساوی تقسیم می شد، سپس بخشی که شامل بی نهایت عضو از دنبال بود انتخاب می گشت. آنگاه فرایند مذکور دوباره با تقسیم کردن بازه کوچکتر حاصل که از مرحله قبل انتخاب شده بود تکرار می گشت. اهمیت واقعی قضیه بولزانو و روش اثبات آن تا حدود ۵۰ سال بعد، زمانی که مجدداً توسط کارل وایرشتراس کشف شد مشخص نگردید.

بسته به سطح تعمیم مورد نظر، تعاریف متعددی را می توان برای فشردگی ارائه داد. به طور خاص یک زیر مجموعه از فضای اقلیدسی را فشرده گویند اگر بسته و کراندار باشد. این تعریف بر اساس قضیه بولزانو-وایرشتراس نتیجه می دهد که هر دنباله نامتناهی از مجموعه مذکور زیردنباله ای دارد که به نقطه ای در آن مجموعه همگرا می شود. مفاهیم معادل مختلف دیگری برای فشردگی را می توان در فضای متری در حالت کلی ایجاد کرد، مثل فشردگی دنباله ای و فشردگی نقطه حدی.

در مقایسه، مفاهیم متفاوت فشردگی در فضاهای توپولوژی عام با یک دیگر معادل نیستند، فلذا مفید ترین مفهوم فشردگی، که ابتدا به آن دوفشردگی (به انگلیسی: bicompactness) می گفتند را با کمک پوشش های باز تعریف کردند (این تعریف در ادامه می آید). این فرم از فشردگی برای زیر مجموعه های بسته و کراندار فضای اقلیدسی بر اساس قضیه هاینه-بورل برقرار است. فشردگی، زمانی که بدین طریق تعریف گردد، اغلب امکان می دهد تا اطلاعات موضعی (یعنی اطلاعات مربوط به همسایگی هر نقطه) به سرتاسر فضا تعمیم پیدا کند. مثالی از این پدیده قضیه دیریکله است، که ابتداءً توسط هاینه به کار گرفته شد، در این قضیه نشان داده می شود که تابع پیوسته روی یک بازه فشرده به طور یک نواخت پیوسته است؛ در اینجا، پیوستگی یک خاصیت موضعی تابع است در حالی که پیوستگی یک نواخت خاصیتی سرتاسریست.

تعریف پوشش باز

یک فضای توپولوژی ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in C}x}$

وجود داشته باشد زیرمجموعه متناهی ${\displaystyle F}$

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}x.}$

برخی از شاخه های ریاضیات چون هندسه جبری که اغلب از مکتب فرانسوی بورباکی تأثیر پذیرفته اند، از اصطلاح شبه-فشرده برای مفهوم کلی فشردگی استفاده می کنند و در مقابل اصطلاح فشرده را برای فضاهای توپولوژی که هم هاسدورف و هم شبه-فشرده باشند نگه داشتند.

• مجموعهٔ تهی
• بازهٔ یکهٔ بستهٔ [0, 1] فشرده است (ولی بازهٔ نیمه باز [0, 1) نه)
• تمام مجموعه های متناهی

برخی قضایای مرتبط با فشردگی:

• یک تصویر پیوسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
• قضیهٔ مقدار نهایی: یک تابع پیوستهٔ حقیقی روی یک فضای فشرده کراندار است و مقدار ماکزیمم خود را می‌گیرد.
• یک زیرمجموعهٔ بسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
• یک مجموعهٔ فشردهٔ ناتهی از اعداد حقیقی بزرگ‌ ترین عضو و کوچک‌ترین عضو دارد.
• یک زیرمجموعه از فضای اقلیدسی n-بعدی فشرده است اگر و تنها اگر بسته و کراندار باشد.(قضیهٔ هاینه-بورل)