میرایی

سیستم جرم-فنر-میراگر

یک سامانهٔ جرم-فنر-دمپر با جرم m، ثابت فنریت k و ضریب میرایی c را در حالت ارتعاش آزاد (پس از انحراف اولیهٔ سیستم از وضعیت تعادل و سپس رهاشدن به حال خود) در نظر بگیرید. نیروی فنر عبارت است از:

${\displaystyle F_{\mathrm{s}}=-kx}$

و نیروی میرایی برابر خواهد بود با:

${\displaystyle F_{\mathrm{d}}=-cv=-c\frac{dx}{dt}=-c\dot{x}.}$

با درنظرگرفتن جرم به عنوان جسم آزاد و اعمال قانون دوم نیوتن، مجموع نیروهای وارد بر جسم از سوی فنر و میراگر برابر خواهد بود با:

${\displaystyle F_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=ma=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=m\ddot{x}.}$

که در آن a شتاب جرم و x جابه‌جایی جرم نسبت به وضعیت تعادل در یک چارچوب اینرسی ساکن است.

از آن‌جا کهF_tot = F_s + F_d پس:

${\displaystyle m\ddot{x}=-kx+-c\dot{x}.}$

بازآرایی معادلهٔ دیفرانسیل به این صورت خواهد بود:

${\displaystyle \ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0.}$

اکنون می‌توان پارامترهای زیر را تعریف کرد:

${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}}$

${\displaystyle \zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}.}$

پارامتر اول، ω₀، فرکانس طبیعی (نامیرا) سامانه است. پارامتر دوم، ζ، نسبت میرایی نام دارد که پارامتری بی‌بعد است اما ابعاد فرکانس طبیعی مشابه فرکانس زاویه‌ای است.

معادلهٔ دیفرانسیل با قراردادن این دو پارامتر به شکل زیر درخواهد آمد:

${\displaystyle \ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0.}$

برای حل این معادله می‌توان فرض کرد جواب x به صورت زیر است:

${\displaystyle x=e^{\gamma t}}$

پارامتر γ در حالت کلی یک عدد مختلط است. با قراردادن این جواب در معادلهٔ دیفرانسیل خواهیم داشت:

${\displaystyle {\gamma }^2+2\zeta {\omega }_0\gamma +{\omega }_0^2=0,}$

که همان معادلهٔ مشخصه سامانه است. حل این معادلهٔ مشخصه شامل دو ریشه خواهد بود که می‌توان آن‌ها را با ‎γ₊‎ و ‎γ₋‎ نشان داد. جواب این معادله در نتیجه عبارت است از:

${\displaystyle x(t)=A{e}^{{\gamma }_{+}t}+B{e}^{{\gamma }_{-}t},}$

ضرایب A و B به کمک شرایط اولیهٔ سامانه معلوم خواهند شد:

${\displaystyle A=x(0)+\frac{{\gamma }_{+}x(0)-\dot{x}(0)}{{\gamma }_{-}-{\gamma }_{+}}}$

${\displaystyle B=-\frac{{\gamma }_{+}x(0)-\dot{x}(0)}{{\gamma }_{-}-{\gamma }_{+}}.}$

• میراگر
• ارتعاش
• مدار آرال‌سی
• نوسان
• تشدید
• سامانه تعلیق