نابرابری کوشی–شوارتز

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

${\displaystyle |⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩}$

که در آن ${\displaystyle ⟨\cdot ,\cdot ⟩}$

${\displaystyle |⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }$

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

لم تیتو

برای لم تیتو ( همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته می‌شود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{\left(\sum _{i=1}^n{u}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{v}_i}\le \sum _{i=1}^n\frac{u_i^2}{v_i}\equiv \frac{u_1^2}{v_1}+\frac{u_2^2}{v_2}+\cdots +\frac{u_n^2}{v_n}\ge \frac{{\left(u_1+u_2+\cdots +u_n\right)}^2}{v_1+v_2+\cdots +v_n}.}}$

برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$

صفحه اقلیدسی (R)

فضای برداری حقیقی ${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$

${\displaystyle {\displaystyle ⟨\mathbf{u},\mathbf{v}{⟩}^2=(\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \theta {)}^2\le \Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2,}}$

که در آن θ، زاویه بین u و v است.

حالت بالا شاید ساده‌ترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر می‌تواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق می‌افتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری ${\displaystyle u_1,u_2,v_1\text{و}{v}_2}$

${\displaystyle {\left(u_1{v}_1+u_2{v}_2\right)}^2\le \left(u_1^2+u_2^2\right)\left(v_1^2+v_2^2\right),}$

که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار ${\displaystyle \left(u_1,u_2\right)}$

فضای n-بعدی مختلط (C)

اگر ${\displaystyle x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{C}}$

${\displaystyle |x_1{\overline{y}}_1+\cdots +x_n{\overline{y}}_n{|}^2\le (|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2)(|y_1{|}^2+\cdots +|y_n{|}^2).}$