چندجمله‌ای چبیشف

پافنوتی چبیشف ریاضی‌دان روس متولد ۱۶ مه سال ۱۸۲۱ بود. چندجمله‌ای‌های چبیشف که به نام او شناخته می‌شود، یک توالی از چندجمله‌های متعامد است که می‌توان آنها را مثل فیبوناچی به صورت برگشت پذیر نوشت. این چندجمله‌ای‌ها دو نوع هستند: اول و دوم.

نوعِ اوّل آن‌ها با T و نوع دوم آن‌ها با U نشان داده می‌شود. علّت نام گذاری T این است که chebyshev به زبان فرانسوی Tchebyshev و به زبان آلمانی Tschebyschow است.

چندجمله های چبیشف بیشتر در تخمین کاربرد دارد و استفاده از آنها برای تخمین به مقدار زیادی خطا را کاهش می دهد. مثلاً، در اندازه گیری طول یک نیم دایره و اشکال دارای قوس استفاده می شود.

کسینوسها:

از رابطه ی زیر شروع می کنیم:

${\displaystyle cos((n+1)\theta )=2cos(\theta )cos(n\theta )-cos((n-1)\theta )(1)}$

که با ۲ بار استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود.

${\displaystyle cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta }$

سپس، ادعا میکنیم که به ازای هر عدد صحیح مثبتِ n اعدادِ صحیح ci وجود دارد، به طوری که:

${\displaystyle cosn\theta =\sum _{i=0}^n{c}_{i}co{s}^i(\theta )(2)}$

تعریف: رابطه ی 2 می گوید که (cos(nθ یک چندجمله ای برحسب (cos(θ است. برایِ n ثابت، n امین چندجمله ای چبیشف به صورت زیر تعریف می شود:

${\displaystyle cos(n\theta )=Tn(cos\theta )(3)}$

که اگر (x = cos(θ باشد:

${\displaystyle T_n(x)=cos(narccos(x))(4)}$

برای x های بین 1 و 1-

در واقع، چندجمله ای های چبیشف نمودارهای کسینوسی است که مقیاس افقی آنها تغییر کرده است، نه مقیاس عمودی آنها. و ریشه های آن که به آنها گره هم می گویند، زمانی است که از(cos(θ صفر شود؛ یعنی (برای n های طبیعی) :

${\displaystyle x=cos(\frac{(2i-1)\pi }{2n})}$

با توجه به روابط بالا، به این رابطه ی بازگشتی می رسیم:

${\displaystyle T_0(x)=1,T_1(x)=x(5)}$

${\displaystyle x=cos\theta }$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x)(6)}$

جوابهای معادله 6 با مقدارهای اولیه داده شده در 5 چندجمله ای چبیشف نوعِ اوّل را نتیجه می دهد.

اولین چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف به صورت زیر است:

شایان توجه است که این چندجمله‌ای ها همان بسط کسینوس مضارب صحیح و غیر منفی زوایا هستند، یعنی:

نوعِ دوّم آن هم با همان معادله ی 6 ولی با مقادیر اولیه متفاوت 7 به دست می آید.

${\displaystyle U_0(x)=1,U_1(x)=2x(7)}$

${\displaystyle U_{n+1}(x)=2x{U}_n(x)-Un-1(x)}$

اولین چندجمله‌ای‌های نوع دوم چبیشف به صورت زیر است:

چندجمله ای های چبیشف از نگاهی دیگر جوابهای معادله دیفرانسیل زیر است:

${\displaystyle (1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+(\alpha {)}^{2}y=0}$

که جواب آن به صورت سری توانی زیر خواهد بود و به ازایِ α های مختلف این چندجمله ای ها به وجود می آید. ابتدا، مشتق های اول و دوم جواب را به دست می آوریم:

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}$

${\displaystyle y^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+1)a_{n+1}{x}^n}$

${\displaystyle y^{″}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+1)n{a}_{n+1}{x}^{n-1}}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)n{a}_{n+1}{x}^{n-1}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n}$

سپس، آن ها را در معادله اولیه جایگذاری می کنیم:

${\displaystyle (1-x^2)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n-x\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+1)a_{n+1}{x}^n+{\alpha }^2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=0n}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^{n+2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+1)a_{n+1}{x}^{n+1}+{\alpha }^2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=0}$

اکنون معادله را به گونه ای می نویسیم که توان های x یکسان شود و سپس معادله را حل می کنیم:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(n)(n-1)a_n{x}^n-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n)a_n{x}^n+{\alpha }^2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=0}$

${\displaystyle 2.1a_2+3.2a_{3}x-1.a_{1}x+{\alpha }^2{a}_0+{\alpha }^2{a}_{1}x}$

${\displaystyle +\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}[(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n)(n-1)a_n-(n)a_n+{\alpha }^2{a}_n]x^n=0}$

${\displaystyle (2a_2+{\alpha }^2{a}_0)+[6a_3+({\alpha }^2-1)a_1]x}$

${\displaystyle +\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}[(n+2)(n+1)a_{n+2}+({\alpha }^2-n^2)a_n]x^n=0}$

برای صادق بودن معادله ی بالا، تمام ضرایب توانهای x و مقدار ثابت باید صفر شود:

${\displaystyle (2a_2+{\alpha }^2{a}_0)=0}$

${\displaystyle 6a_3+({\alpha }^2-1)a_1=0}$

${\displaystyle a_{n+2}=\frac{n^2-{\alpha }^2}{(n+1)(n+2)}{a}_{n}n=0,1,...}$

رابطه بازگشتی برای جملات زوج به صورت زیر است:

${\displaystyle a_2=\frac{-{\alpha }^2}{2}{a}_0}$

${\displaystyle a_4=\frac{2^2-{\alpha }^2}{3.4}{a}_2=\frac{(2^2-{\alpha }^2)(-{\alpha }^2)}{\mathrm{1.2.3.4}}{a}_0}$

${\displaystyle a_{2n}=\frac{[(2n{)}^2-{\alpha }^2][(2n-2{)}^2-{\alpha }^2]...(-{\alpha }^2)}{(2n)!}{a}_0}$

و برای جملات فرد به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle a_3=\frac{1-{\alpha }^2}{6}{a}_1}$

${\displaystyle a_5=\frac{3^2-{\alpha }^2}{4.5}{a}_3=\frac{(3^2-{\alpha }^2)(1-{\alpha }^2)}{5!}{a}_1}$

${\displaystyle a_{2n-1}=\frac{[(2n-1{)}^2-{\alpha }^2][(2n-3{)}^2-{\alpha }^2]...(1-{\alpha }^2)}{(2n+1)!}{a}_1}$

در نهایت، جواب عمومی به دست می آید:

${\displaystyle a_{keven}=\prod _{j=1}^{\frac{k}{2}}(k-2j{)}^2-{\alpha }^2}$

${\displaystyle a_{kodd}=\prod _{j=1}^{\frac{k-1}{2}}(k-2j{)}^2-{\alpha }^2}$

${\displaystyle y=a_0[1+\sum _{k=2,4,...}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{keven}}{k!}{x}^k]+a_1[x+\sum _{k=3,5,...}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{kodd}}{k!}{x}^k]}$

که می توان به صورت زیر نوشت:

${\displaystyle y=a_{0}cos(\alpha arcsinx)+\frac{a_1}{\alpha }sin(\alpha arcsinx)}$

و با یک تغییر متغیر به این نتیجه می رسیم:

${\displaystyle y=b_{1}cos(\alpha arccosx)+b_{2}sin(\alpha arccosx)=b_1{T}_{\alpha }(x)+b_2\sqrt{1-x^2}{U}_{\alpha -1}(x)}$

که (Tn(x چندجمله‌ای چبیشف از نوع اول و (Un(x چندجمله‌ای چبیشف از نوع دوم است.

• روش‌های طیفی چبیشف

• چندجمله‌ای‌های چبیشف

• چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف
• kaas.no/work/Blog/Entries/2011/7/5_Talk__On_Multivariate_Chebyshev_Polynomials; _from_group_theory_to_PDE_solvers_files/munthekaas_focm11.pdf چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف
• چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف
• چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف
• چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف
• چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف