بیشینه و کمینه

اکسترمم مطلق

نقطهٔ بیشینهٔ مطلق ${\displaystyle a}$

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ مطلق ${\displaystyle b}$

در بیشتر اوقات، صفت «مطلق» برای اکسترمم مطلق ذکر نمی‌شود.

اکسترمم نسبی

نقطهٔ بیشینهٔ نسبی ${\displaystyle a}$

تابع فاصله ${\displaystyle d}$

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ نسبی ${\displaystyle b}$

اکسترمم اکید

مفهوم اکید را می‌توان برای هر دو اکسترمم مطلق و نسبی تعریف کرد. به عنوان مثال:

نقطهٔ بیشینهٔ مطلق اکید ${\displaystyle a}$

نقطهٔ بیشینهٔ نسبی اکید ${\displaystyle a}$

یافتن اکسترمم‌ها هدف بهینه‌سازی است.

قضیهٔ مقدار اکسترمم

• اگر تابع ${\displaystyle f}$
  در بازهٔ ${\displaystyle [a,b]}$
  پیوسته باشد، آن گاه ${\displaystyle f}$
  روی ${\displaystyle [a,b]}$
  دارای حدّاقل یک مقدار بیشینهٔ مطلق و یک مقدار کمینهٔ مطلق است.

همان طور که از صورت قضیهٔ اکسترمم ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود اکسترمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصلهٔ ${\displaystyle [a,b]}$

نقاط بحرانی

یک اکسترمم مطلق در یک بازه (در صورت وجود) یا یکی از اکسترمم‌های نسبی و یا ابتدا و انتهای بازه است.

طبق قضیهٔ فرما، هر اکسترمم نسبی، یک نقطهٔ بحرانی است.

پس با بررسی نقاط بحرانی و ابتدا و انتهای بازه و پیدا کردن بیشترین و کمترینشان می‌توان اکسترمم‌ها را پیدا کرد.