عدد اول

عدد اول (به انگلیسی: Prime Number)، عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که نتوان آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچک‌تر نوشت (یعنی یکی از آن‌ها نمی‌تواند با خود عدد برابر باشد). به عبارت ساده‌تر، اعداد اول، مجموعه‌ای از اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ هستند که فقط بر یک و خود عدد بخش‌پذیر هستند. عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ که اول نباشد را عدد مرکب می‌گویند. به عنوان مثال، ۵ یک عدد اول است، چون فقط بر یک و ۵ بخش‌پذیر است و تنها روشی که می‌توان آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی نوشت به‌صورت $1\times 5$

یا

5\times 1

است که شامل خود ۵ می‌شود (دو عددی که در ضرب می‌آیند باید از خود ۵ کوچک‌تر باشند). اما به عنوان مثال، ۶ یک عدد مرکب است، چرا که می‌توان آن را به‌صورت

2\times 3

نوشت که هردوی آن‌ها از ۶ کوچک‌ترند. اعداد اول در نظریهٔ اعداد به دلیل قضیهٔ اساسی حساب نقش محوری دارند، این قضیه می‌گوید: هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱، یا اول است یا اگر اول نباشد، می‌توان آن را به ضرب اعداد اول تجزیه کرد، که این تجزیه در حد ترتیب یگانه است.

غربال گری اراتوستن الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همهٔ اعداد اول تا عدد صحیح برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتوستن را اراتوستن، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

خاصیت اعداد اول را اول بودن می‌گویند. یک روش کُند برای چک کردن اول بودن یک عدد مثل $\mathrm {n}$

، آزمون تقسیم است. این آزمون بخش پذیر بودن

\mathrm {n}

بر هر عدد صحیح بین ۲ و

{\sqrt {n}}

را چک می‌کند. الگوریتم‌های سریع‌تری نیز وجود دارند، مثل آزمون اول بودن میلر-رابین که سریع است، اما احتمال رخ دادن درصدی خطا نیز در آن وجود دارد. آزمون دیگر، آزمون اول بودن AKS است، که همیشه جواب صحیح به‌دست می‌دهد، اما مرتبه زمانی آن چندجمله‌ای است و برای کاربردهای عملی بسیار کُند می‌باشد. روش‌های بسیار سریعی برای آزمون اول بودن اعداد خاصی مثل اعداد مرسن نیز وجود دارد. تا دسامبر ۲۰۱۸ بزرگ‌ترین عدد اول شناخته شده در سیستم ده-دهی ۲۴٬۸۶۲٬۰۴۸ رقم دارد.

اقلیدس حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد اثبات کرد که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. با این حال، توزیع اعداد اول در میان اعداد طبیعی را می‌توان از نظر آماری مدل‌سازی کرد. اولین نتیجه‌ای که در این جهت حاصل شد قضیه اعداد اول بود که در انتهای قرن نوزدهم به‌دست آمد. این قضیه می‌گوید که احتمال اول بودن یک عدد طبیعی تصادفی با تعداد ارقام آن (یعنی لگاریتم آن عدد) رابطه عکس دارد.

چندین سؤال تاریخی در ارتباط با اعداد اول هنوز لاینحل مانده‌اند. این سؤالات شامل حدس گلدباخ می‌شود، این حدس می‌گوید که هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌صورت جمع دو عدد اول بیان کرد. یکی دیگر از این سؤالات حدس اعداد اول دوقلو است، که می‌گوید تعداد اعداد اولی که تفاضل‌شان فقط ۲ باشد بی‌نهایت است. چنین سؤالاتی موجب پیشرفت شاخه‌های مختلف نظریهٔ اعداد گشتند که در این مسیر بر روی جنبه‌های تحلیلی و جبری اعداد تمرکز شده‌است. اعداد اول در چندین مسیر فناوری اطلاعات استفاده شده‌اند. مثل رمزنگاری کلید عمومی که به سخت بودن تجزیهٔ اعداد بزرگ به عوامل اول‌شان تکیه می‌کند. در جبر مجرد، اشیائی وجود دارند که به صورت تعمیم‌یافته، شبیه اعداد اول عمل می‌کنند. مثل عناصر اول و ایده‌آل‌های اول

در این تصویر اعداد اول بین 1 تا 640000 از بالا به پایین با رنگ سفید و اعداد غیر اول با رنگ سیاه نمایش داده شده اند

تعریف و مثال‌ها

عددی طبیعی (۱، ۲، ۳، ...) را «عدد اول» (یا اول) نامند اگر بزرگ‌تر از ۱ بوده و نتوان آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچک‌تر نوشت. اعداد بزرگ‌تر از ۱ که اول نباشند را مرکب می‌نامند. به بیان دیگر، $n$

اول است اگر نتوان آن را به بیش از یک گروه با اندازهٔ مساوی تقسیم‌بندی نمود، یا امکان آرایش

n

نقطه به شبکه‌ای از نقاط مستطیل‌گونه که طول و عرضی بزرگ‌تر از یک داشته باشند، امکان‌پذیر نباشد. به عنوان مثال، در میان اعداد ۱ تا ۶، اعداد ۲، ۳ و ۵، اعداد اول می‌باشند، چرا که هیچ عددی آن‌ها را به گونه‌ای تقسیم نمی‌کنند که باقیمانده صفر شود. ۱ اول نیست، چرا که به‌طور ویژه از تعریف مستثنی شده. ۴=۲×۲ و ۶=۲×۳، هردو اعدادی مرکب‌اند.

بوسیله میله‌های کویزنیر نشان داده شده که ۷ اول است، چرا که بر هیچ‌کدام از ۲، ۳، ۴، ۵، یا ۶ بخش‌پذیر نیست.

مقسوم‌علیه‌های یک عدد طبیعی چون $n$

، اعداد طبیعی هستند که

n

را به بخش‌های مساوی تقسیم می‌کنند. برای هر عدد طبیعی، ۱ و خود عدد همیشه جزو مقسوم‌علیه‌ها می‌باشند. اگر مقسوم‌علیه دیگری وجود داشته باشد، آن عدد اول نخواهد بود. این ایده منجر به تعریف متفاوت ولی معادلی برای اعداد اول می‌گردد: آن‌ها اعدادی هستند که دقیقاً دو مقسوم‌علیه دارند، ۱ و خود عدد. هنوز روش دیگری جهت بیان همین مفهوم وجود دارد، این که عدد

n

اول است اگر بزرگ‌تر از یک بوده و بر هیچ‌یک از اعداد

2,3,\cdots ,n-1

بخش‌پذیر نباشد.

اولین ۲۵ عدد اول (تمام اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰) بدین قرار اند:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷ (دنباله A000040 در OEIS).

هیچ عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ چون $n$

اول نیست، چرا که دست کم می‌توان آن را به صورت

2\times {\tfrac {n}{2}}

بیان نمود. ازین رو، هر عدد اول به غیر از ۲، یک عدد فرد است که به آن عدد اول فرد می‌گویند. به‌طور مشابه، هنگامی که تمام اعداد اول بزرگ‌تر از ۵ را در قالب دستگاه اعداد مبنای ده بنویسیم، رقم آخر آن‌ها (رقم یکان) به یکی از ارقام ۱، ۳، ۷ یا ۹ ختم می‌گردد. اعداد بزرگتر از ۵ی که به سایر ارقام ختم شوند، مرکب‌اند، چرا که اعداد ده-دهی که به ۰، ۲، ۴، ۶، یا ۸ ختم شوند زوج بوده و اعداد ده-دهی که به ۰ یا ۵ ختم شوند بر ۵ بخش‌پذیرند.

برخی مواقع، مجموعه تمام اعداد اول را با $\mathbf {P}$

(حرف بزرگ درشت‌شده P) و برخی از مواقع دیگر با

\mathbb {P}

(حرف P بزرگ و درشت تخته‌سیاهی) نمایش می‌دهند.

تاریخچه

پاپیروس ریاضی ریند

پاپیروس ریاضی ریند، مربوط به حدود ۱۵۵۰ پیش از میلاد است که در آن کسرهای گسترش‌یافته مختلفی از اعداد اول و مرکب موجود است. با اینحال، قدیمی‌ترین مطالعات صریح برجای مانده که بر روی اعداد اول صورت پذیرفته، مربوط به ریاضیات یونان باستان می‌باشد. اصول اقلیدس (حدود ۳۰۰ پیش از میلاد)، بی‌نهایت بودن اعداد اول و قضیه اساسی حساب را اثبات کرده و نشان می‌دهد که چگونه می‌توان از یک عدد اول مرسن، عدد تامی ساخت. غربال اراتوستن، یکی دیگر از اختراعات یونانیان است که هنوز هم جهت ساخت فهرست اعداد اول مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در حدود ۱۰۰۰ میلادی، ریاضی‌دان جهان اسلام، ابن هیثم (Alhazen)، قضیه ویلسون را یافت، که اعداد اول را به عنوان اعدادی چون $n$

مشخص می‌کند که

(n-1)!+1

را می‌شمارند (یعنی

n

اول است

\iff

‏

(n-1)!+1

). همچنین او حدس زد که تمام اعداد تام زوج، از ترسیم اقلیدسی با استفاده از اعداد اول می‌آیند، اما قادر به اثبات آن نبود. یکی دیگر از ریاضیدانان جهان اسلام، به نام ابن بنای مراکشی، مشاهده نمود که غربال اراتوستن را می‌توان تنها با آزمودن مقسوم‌علیه‌های کوچکتر مساوی ریشه دوم (ریشه مربعی) بزرگترین عددی که باید آزموده شود، تسریع نمود. فیبوناچی، نوآوری‌های جهان اسلام را به اروپا بازگرداند. کتاب او با نام Liber Abaci ‏(۱۲۰۲ میلادی)، اولین کتابی بود که آزمون تقسیم را با استفاده از مقسوم‌علیه‌های کوچکتر مساوی رادیکال عدد مورد نظر، جهت آزمودن اول بودن یا نبودن یک عدد صحیح معرفی نمود.

در ۱۶۴۰ میلادی، پیر دو فرما، قضیه کوچک فرما را بیان نمود (بدون اثبات)، (بعدها لایبنیتس و اویلر اثباتش نمودند). همچنین فرما در مورد اول بودن اعداد فرما $2^{2^{n}}+1$

، و مارین مرسن در مورد اعداد اول مرسن، یعنی اعداد اولی به فرم

2^{p}-1

که در آن

p

اول است، تحقیق نمودند. کریستین گلدباخ، حدس گلدباخ را فرموله کرد، این حدس بیان می‌دارد که هر عدد زوج به صورت جمع دو عدد اول است، او صورت این حدس را در ۱۷۴۲ میلادی در قالب نامه‌ای به اویلر مطرح نمود. اویلر حدس ابن هیثم (Alhazen) (که اکنون به قضیه اقلیدس-اویلر معروف است) را اثبات نمود، این حدس بیان می‌نمود که تمام اعداد تام زوج را می‌توان از اعداد اول مرسن ساخت. او در اثبات‌هایش در ارتباط با بی‌نهایت بودن اعداد اول و همچنین واگرایی جمع معکوس اعداد اول

{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots

، روش‌هایی را از آنالیز ریاضی به این حوزه از ریاضیات معرفی نمود. در ابتدای قرن نوزدهم میلادی، لژاندر و گاوس حدس زدند که با میل پیدا کردن

x

به سمت بی‌نهایت، تعداد اعداد اول کوچکتر مساوی

x

، مجانب با

{\tfrac {x}{\operatorname {log} x}}

است که در آن

\operatorname {log} x

، لگاریتم طبیعی

x

است. پیامد ضعیف تری از این چگالی بالای اعداد اول، اصل برتراند بود که می‌گفت: برای هر

n>1

، عدد اولی بین

n

و

2n

وجود دارد، این اصل در ۱۸۵۲ میلادی توسط پافنوتی چبیشف اثبات شد. ایده‌های برنهارت ریمان در مقاله‌اش به سال ۱۸۵۹ میلادی، که در ارتباط با تابع زتا بود، خطوط کلی اثبات حدس لژاندر و گاوس را ترسیم نمود. گرچه که فرضیه ریمان، با وجود ارتباط نزدیک با حدس اخیر، هنوز هم اثبات نشده، ولی خطوط کلی اثبات ریمان در ارتباط با حدس لژاندر و گاوس در ۱۸۹۶ توسط آدامار و دو لا والی پوسین تکمیل شده و نتیجه آن را اکنون به نام قضیه اعداد اول می‌شناسند. یکی دیگر از نتایج مهم قرن نوزدهم میلادی، قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی بود، این که برخی از تصاعدهای حسابی، بی‌نهایت عدد اول را دربر می‌گیرند.

بسیاری از ریاضی‌دانان، برای اعداد بزرگی که اعمال تقسیم معمولی رویشان عملی نباشند (از نظر قدرت محاسبه)، آزمون‌های اول بودن را مورد بررسی قرار داده‌اند. روش‌هایی که به فرم‌های عددی خاصی محدود شده باشند، مثل این موارد: آزمون پپین برای اعداد فرما (۱۸۷۷)، قضیه پروث (حدود ۱۸۷۸ میلادی)، آزمون اول بودن لهمر (نشأت گرفته در ۱۸۵۶ میلادی)، و آزمون اول بودن لوکاس.

از ۱۹۵۱میلادی، تمام بزرگترین اعداد اول شناخته شده را با استفاده از این آزمون‌ها، و با کمک کامپیوترها یافته‌اند. جستجو برای اعداد اول بزرگتر، در خارج از دایره ریاضی‌دانان نیز ایجاد علاقه نموده‌است، پروژه‌هایی چون «جستجوی بزرگ اینترنتی اعداد اول مرسن» و سایر پروژه‌هایی که با کمک محاسبات توزیع‌شده صورت می‌پذیرند. این ایده که اعداد اول کاربردهایی نیز خارج از ریاضیات محض دارد در دهه ۱۹۷۰ میلادی، هنگامی که دستگاه‌های رمزنگاری کلید عمومی و RSA ابداع شدند، درهم شکست، چرا که این الگوریتم‌ها، اعداد اول را مبنای خود قرار می‌دادند.

اهمیت عملی فزاینده آزمون اول بودن با کمک کامپیوتر، و همچنین فاکتورگیری، منجر به توسعه روش‌های ارتقاء یافته‌ای شد که قادر بودند به کمک آن‌ها، با اعداد بزرگی با فرم غیر مقید و بدون محدودیت نیز کار کنند. همچنین، با کشف قضیه گرین-تائو (۲۰۰۴ میلادی)، مبنی بر این که تصاعدهای حسابی به میزان دلخواه بلندی از اعداد اول وجود دارند، به علاوه اثبات یتان ژانگ در ۲۰۱۳ میلادی مبنی بر این که بی‌نهایت شکاف اعداد اول با اندازه کراندار موجودند، قدم‌های مثبتی در پیش‌برد نظریه ریاضیاتی اعداد اول بوند.

اول بودن یک

یونانیان اولیه، ۱ را حتی جزو اعداد هم به‌شمار نمی‌آوردند، پس طبیعتاً آن را اول هم در نظر نمی‌گرفتند. همچنین برخی از ریاضی‌دانان مربوط به این دوره، اعداد اول را به عنوان جزئی از اعداد فرد در نظر می‌گرفتند، بنابراین آن‌ها نیز ۲ را به عنوان عدد اول در نظر نمی‌گرفتند. با این حال، اقلیدس و بخش عمده‌ای از سایر ریاضی‌دانان یونانی، ۲ را به عنوان اول در نظر می‌گرفتند. ریاضی‌دانان جهان اسلام در قرون وسطی، عمدتاً از یونانیان طبعیت کرده و ۱ را عدد در نظر نمی‌گرفتند. در قرون وسطی و رنسانس، ریاضی‌دانان کم‌کم ۱ را به عنوان عدد در نظر گرفتند، و برخی از آن‌ها ۱ را به عنوان اولین عدد اول به حساب آوردند. در اواسط قرن هجدهم میلادی، کریستین گلدباخ، ۱ را در مراودات خود با لئونارد اویلر، به عنوان عدد اول در نظر می‌گرفت؛ با این‌حال، خود اویلر ۱ را اول در نظر نمی‌گرفت. در قرن نوزدهم میلادی، بسیاری از ریاضی‌دانان هنوز هم ۱ را اول می‌دانستند، و فهرست‌های اعداد اولی که شامل ۱ بودند، هنوز هم تا ۱۹۵۶ میلادی منتشر می‌شدند.

اگر در تعریف عدد اول تغییر ایجاد شده به گونه‌ای که ۱ نیز عدد اول محسوب شود، بسیاری از گزاره‌ها در مورد اعداد اول نیاز به بازنویسی خام و ناشیانه‌ای خواهند داشت. به عنوان مثال، قضیه بنیادین حساب را باید به گونه‌ای بازنویسی کرد تا فاکتورگیری برحسب اعداد اول بزرگتر از یک صورت گیرند، چرا که با ظهور تعداد متفاوت و تکراری از عدد ۱ در تجزیه اعداد، فاکتورگیری‌های مختلفی برای هر عدد تولید می‌شوند. به‌طور مشابه، اگر ۱ به عنوان عدد اول در نظر گرفته شود، غربال اراتوستن به خوبی کار نمی‌کند، چرا که تمام مضارب ۱ (یعنی تمام اعداد دیگر) حذف شده و خروجی تنها شامل ۱ خواهد بود. برخی از خواص فنی‌تر اعداد اول نیز برای عدد ۱ برقرار نیستند: به عنوان مثال، فرمول‌های تابع فی اویلر، یا تابع جمع مقسوم‌علیه‌ها، برای ۱ ضوابط متفاوتی نسبت به ضابطه‌شان برای اعداد اول دارند. تا اوایل قرن بیستم میلادی، ریاضی‌دانان شروع به توافق بر سر این موضوع کردند که ۱ نباید به عنوان عدد اول فهرست شود، بلکه برایش رده مخصوصی به نام «یکه» (unit، عضو معکوس‌دار در ساختارهای جبری چون حلقه) را تعریف نمودند.

قضیه‌ها

قضیهٔ ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

به این اثبات دقت کنید که از برهان خلف استفاده می‌کنیم:

فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

اعداد اول را در هم ضرب می‌کنیم.

$P_{1},P_{2},P_{3},...,P_{n}$

ضرب اعداد از $P_{i}$

بزرگ‌تراست.

$P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}>P_{i}$

$P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1>P_{i}$

$P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1=P_{i_{1}}...P_{i_{k}}$

$P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1=P_{i}\times X$

$P_{i_{1}}\times ...\times P_{i_{k}}=P_{i}\times X$

$P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1=Y+1$

$P_{i_{1}}\times Y+1=P_{i_{1}}\times X$

$P_{i_{1}}\times X-P_{i_{1}}\times Y=1$

$P_{i_{1}}\times (X-Y)=1$

$P_{i_{1}}=1$

که عدد یک جزء اعداد اول نیست پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

قضیهٔ ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی مرکب بزرگ‌تر از ۱ را می‌توان به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
قضیهٔ ۳ (قضیه چبیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتماً بین n و 2n-2 عدد اولی وجود دارد.
قضیهٔ ۴ (قضیه اردوش (تعمیم قضیه چبیشف)): برای هر عدد طبیعی k، وجود دارد یک عدد طبیعی مثل N، که برای هر n>N، بین n و 2n,

k عدد اول وجود دارد.

قضیهٔ ۵: تنها زمانی مجموع دو عدد اول عددی فرد می‌شود که یکی از آنها عدد ۲ باشد. زیرا عدد ۲ تنها عدد اول زوج است و تنها حالتی که مجموع دو عدد فرد میشود این است که یکی از عوامل جمع زوج و دیگری فرد باشد.
قضیهٔ ۶: عددی اول است که به اعداد اول کوچکتر یا مساوی با جذر خودش بخش پذیر نباشد.(از روش غربال اراتوستن نتیجه میشود)
قضیهٔ ۷: رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد (اثبات آن به این صورت است که فرض میکنیم یکان ارقام دیگر باشند،یعنی ۲،۴،۵،۶،۸ در این صورت عدد یا بر پنج برای یکان پنج یا بر دو برای یکان های زوج بخش پذیر است که تناقض است)

تابع شمارش اعداد اول

در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار می‌رود و آن را با نماد $\pi (x)$

نمایش می‌دهند.

ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:

${\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.51}{(\ln x)^{2}}}\right).$

همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:

${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}$

بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ عددی طبیعی مانند s وجود دارد که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

${\frac {x}{\ln x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-(1+\varepsilon )}}.$

قضیه اعداد اول

اگر $\pi (x)$

تعداد اعداد اول کمتر از

x

باشد

آنگاه $\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1$

$x$	$\pi (x)$	${\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}$
۱۰	۴	۰٫۹۲۱
10	۲۵	۱٫۱۵۱
10	۱۶۸	۱٫۱۶۱
10	۱٬۲۲۹	۱٫۱۳۲
10	۹٬۵۹۲	۱٫۱۰۴
10	۷۸٬۴۹۸	۱٫۰۸۴
10	۶۶۴٬۵۷۹	۱٫۰۷۱
10	۵٬۷۶۱٬۴۵۵	۱٫۰۶۱
10	۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴	۱٫۰۵۴
10	۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱	۱٫۰۴۸
OEIS	A006880	A057835

با استفاده از قضیه اعداد اول می‌توان اثبات کرد که:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1$

که در آن تابع $p(x)$

، تابع مولد اعداد اول باشد. یعنی x امین عدد اول

p(x)=

اثبات مطلب بالا به شرح زیر است:

می‌دانیم $\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1$

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!$

می‌دانیم توابع $p(x)$

و

\pi (x)

معکوس هم هستند. یعنی:

$p^{-1}\left(\,x\,\right)=\pi (x)$

در نتیجه می‌توان با حل معادله $\pi (x)=x$

تابع

p(x)

را یافت.

می‌دانیم $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!$

پس با حل معادله ${\frac {x}{\ln x}}=x$

می‌توان هم‌ارزی برای

p(x)

یافت.

به روش تکرار ساده معادله را حل می‌کنیم.

${\frac {x_{1}}{\ln x}}=x_{2}$

${x_{1}}=x_{2}\ln(x)$

$p(x)=x\ln(x)$

اما باید توجه داشت چون به جای $\pi (x)$

از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

$p(x)\sim \ x\ln(x)$

در نتیجه:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1$

قضیه ویلسون

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند $\;p$

داریم

\;(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

این قضیه دوشرطی است بنابراین راهی برای تشخیص اعداد اول از مرکب است یعنی:

برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر برقرار باشد آنگاه x عددی اول است در غیر این صورت x عددی مرکب است.

$\;$

\;(x-1)!\equiv -1{\pmod {x}}

این قضیه تعمیم‌هایی به شکل زیر دارد:

تعمیم گاوس: کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p

$\prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

در اینجا $\alpha$

عددی صحیح و مثبت است.

بزرگترین عدد اول کشف شده

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده تا (۲۰۱۶) برابر دو به توان ۷۴ میلیون و ۲۰۷ هزار و ۲۸۱ منهای یک است. این عدد ۲۲٬۳۳۸٬۶۱۸ رقم دارد و یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است. در سال ۲۰۱۸، طولانی‌ترین عدد اول که دارای ۲۳ میلیون رقم است؛ کشف شد. این عدد اول نیز یک عدد مرسن است که در جریان محاسبات در رایانه یک مهندس برق به نام جاناتان پیس در آمریکا در جریان پروژه‌ای برای کشف اعداد اول به نام «تحقیق اینترنتی بزرگ عدد مرسن» (GIMPS) کشف شد. این عدد را به اختصار و به‌طور قراردادی، M77232917 نامیده‌اند. پژوهش‌ها برای یافتن عددهای اول بزرگ دشوار و نیازمند نرم‌افزارهای خاص و همکاری علمی پژوهشگران هستند.

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی به‌وجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.

جستارهای وابسته

یادداشت‌ها

↑ A 44-digit prime number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest prime not to have been found with the aid of electronic computers.
↑ For instance, Beiler writes that number theorist Ernst Kummer loved his ideal numbers, closely related to the primes, "because they had not soiled themselves with any practical applications", and Katz writes that Edmund Landau, known for his work on the distribution of primes, "loathed practical applications of mathematics", and for this reason avoided subjects such as geometry that had already shown themselves to be useful.

منابع

↑ "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2-1". Mersenne Research, Inc. 21 December 2018. Retrieved 21 December 2018.
↑ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. p. 26. ISBN 978-0-19-850105-3.
↑ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2nd ed.). Routledge. p. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
↑ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. p. 16. OCLC 6975809.
↑ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. p. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9.
↑ Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. p. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
↑ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. Vol. 31 (2nd ed.). Elsevier. p. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
↑ Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. MR 2039814.
↑ Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
↑ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. p. 40. MR 0170843.
↑ Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.
↑ Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. Vol. 111 (2nd ed.). John Wiley & Sons. p. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
↑ Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458. S2CID 121046003.
↑ Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. p. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
↑ Pomerance, Carl (December 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.
↑ Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
↑ (Sandifer 2007), 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45
↑ Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. p. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
↑ Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. p. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
↑ Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. Vol. 4 (2nd ed.). World Scientific. p. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
↑ Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. p. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
↑ Tchebychev, P. (1852). "Mémoire sur les nombres premiers" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (به فرانسوی): 366–390.. (Proof of the postulate: 371-382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp.15-33, 1854
↑ Apostol, Tom M. (2000). "A centennial history of the prime number theorem". In Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (eds.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. pp. 1–14. MR 1764793.
↑ Apostol, Tom M. (1976). "7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions". Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. pp. 146–156. MR 0434929.
↑ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. p. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
↑ Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (4th ed.). Addison-Wesley. p. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
↑ Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. pp. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.
↑ (Rosen 2000), p. 245.
↑ Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. p. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.
↑ Katz, Shaul (2004). "Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem". Science in Context. 17 (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305.
↑ Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. p. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.
↑ Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. p. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
↑ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. Vol. 11. Cambridge University Press. p. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
↑ (Neale 2017), pp. 18, 47.
↑ Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on this issue, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.
↑ Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua: A Series of Monographs on Ancient Philosophy. Vol. 39. Brill. pp. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.
↑ (Caldwell و دیگران 2012), pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.
↑ (Caldwell و دیگران 2012), p. 15.
↑ Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530.
↑ Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.
↑ Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. pp. 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676.
↑ For the totient, see (Sierpiński 1988), p. 245. For the sum of divisors, see Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. p. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.
↑ Mollin, Richard A (2002-02-01). "A Brief History of Factoring and Primality Testing B. C. (Before Computers)". Mathematics Magazine (به انگلیسی). 75 (1): 18. doi:10.2307/3219180.
↑ "Mersenne Prime Number discovery - 2-1". Great Internet Mersenne Prime Search.
↑ «کشف طولانی‌ترین عدد اول با 23 میلیون رقم». خبرگزاری جمهوری اسلامی. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۱-۰۶.
↑ ماهنامه علمی-فنی دانشمند، شماره ۵۳۷، ص ۱۷

[29] A 44-digit prime number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest prime not to have been found with the aid of electronic computers.

[pure-33] For instance, Beiler writes that number theorist Ernst Kummer loved his ideal numbers, closely related to the primes, "because they had not soiled themselves with any practical applications", and Katz writes that Edmund Landau, known for his work on the distribution of primes, "loathed practical applications of mathematics", and for this reason avoided subjects such as geometry that had already shown themselves to be useful.

[GIMPS-2018-1] "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2-1". Mersenne Research, Inc. 21 December 2018. Retrieved 21 December 2018.

[2] Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. p. 26. ISBN 978-0-19-850105-3.

[3] Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2nd ed.). Routledge. p. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.

[4] Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. p. 16. OCLC 6975809.

[5] Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. p. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9.

[6] Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. p. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.

[7] Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. Vol. 31 (2nd ed.). Elsevier. p. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.

[ziegler-8] Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. MR 2039814.

[9] Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.

[10] Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. p. 40. MR 0170843.

[11] Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.

[12] Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. Vol. 111 (2nd ed.). John Wiley & Sons. p. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.

[13] Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458. S2CID 121046003.

[stillwell-2010-p40-14] Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. p. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.

[pomerance-sciam-15] Pomerance, Carl (December 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.

[mollin-16] Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.

[17] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[18] (Sandifer 2007), 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45

[19] Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. p. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.

[20] Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. p. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.

[21] Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. Vol. 4 (2nd ed.). World Scientific. p. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.

[22] Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. p. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.

[23] Tchebychev, P. (1852). "Mémoire sur les nombres premiers" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (به فرانسوی): 366–390.. (Proof of the postulate: 371-382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp.15-33, 1854

[24] Apostol, Tom M. (2000). "A centennial history of the prime number theorem". In Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (eds.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. pp. 1–14. MR 1764793.

[25] Apostol, Tom M. (1976). "7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions". Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. pp. 146–156. MR 0434929.

[26] Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. p. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.

[27] Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (4th ed.). Addison-Wesley. p. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.

[28] Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. pp. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.

[30] (Rosen 2000), p. 245.

[31] Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. p. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.

[32] Katz, Shaul (2004). "Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem". Science in Context. 17 (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305.

[ent-7-34] Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. p. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.

[35] Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. p. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.

[36] Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. Vol. 11. Cambridge University Press. p. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.

[neale-18-47-37] (Neale 2017), pp. 18, 47.

[crxk-34-38] Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on this issue, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.

[39] Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua: A Series of Monographs on Ancient Philosophy. Vol. 39. Brill. pp. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.

[40] (Caldwell و دیگران 2012), pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.

[41] (Caldwell و دیگران 2012), p. 15.

[cx-42] Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530.

[43] Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.

[cg-bon-129-130-44] Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. pp. 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676.

[45] For the totient, see (Sierpiński 1988), p. 245. For the sum of divisors, see Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. p. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.

[46] Mollin, Richard A (2002-02-01). "A Brief History of Factoring and Primality Testing B. C. (Before Computers)". Mathematics Magazine (به انگلیسی). 75 (1): 18. doi:10.2307/3219180.

[GIMPSM49-47] "Mersenne Prime Number discovery - 2-1". Great Internet Mersenne Prime Search.

[48] «کشف طولانی‌ترین عدد اول با 23 میلیون رقم». خبرگزاری جمهوری اسلامی. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۱-۰۶.

[49] ماهنامه علمی-فنی دانشمند، شماره ۵۳۷، ص ۱۷