جدول گروه‌های لی

شرح علائم به کار رفته برای عنوان ستون‌ها:

• Cpt: آیا گروه G مورد نظر فشرده است یا خیر? (بله یا خیر)
• ${\displaystyle {\pi }_0}$
  
  : گروه مؤلفه‌های G را می‌دهد. مرتبه بزرگی گروه مؤلفه‌ای، تعداد مؤلفه‌های همبندی را ارائه می‌کند. گروه مورد نظر همبند است اگر و تنها اگر گروه مؤلفه‌ها بدیهی باشد (که با 0 نشان داده شده).
• ${\displaystyle {\pi }_1}$
  
  : هرگاه G همبند باشد، گروه بنیادی G را می‌دهد.
• UC: اگر G همبند ساده نباشد، پوشش جهانی G را می‌دهد.
• ${\displaystyle dim/\mathbb{R}}$
  
  : بعد روی فضای برداری با اسکالرهای حقیقی.

گروه لی	توصیف	Cpt	${\displaystyle {\pi }_0}$	${\displaystyle {\pi }_1}$	UC	نکات	جبر لی	${\displaystyle dim/\mathbb{R}}$
${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$	فضای اقلیدسی به همراه جمع	N	0	0		آبلی	${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$	n
${\displaystyle {\mathbb{R}}^{\times }}$	اعداد حقیقی ناصفر به همراه جمع	N	${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$	–		آبلی	${\displaystyle \mathbb{R}}$	1
${\displaystyle {\mathbb{R}}^{+}}$	اعداد حقیقی مثبت با ضرب	N	0	0		آبلی	${\displaystyle \mathbb{R}}$	1
${\displaystyle S^1=U(1)}$	گروه دایره‌ای: اعداد مختلط با قدر مطلق 1، با ضرب؛	Y	0	${\displaystyle \mathbb{Z}}$	${\displaystyle \mathbb{R}}$	آبلی، یکریخت با SO(2)، Spin(2)، و${\displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Z}}$	${\displaystyle \mathbb{R}}$	1
Aff(1)	تبدیلات آفین معکوس‌پذیر از ${\displaystyle \mathbb{R}}$ به ${\displaystyle \mathbb{R}}$ .	N	${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$	0		گروه حل‌پذیر؛ ضرب نیم‌مستقیم از ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{+}}$ و ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{\times }}$		2
${\displaystyle {\mathbb{H}}^{\times }}$	چهارگان‌های ناصفر با ضرب	N	0	0			${\displaystyle \mathbb{H}}$	4
${\displaystyle S^3=Sp(1)}$	چهارگان‌هایی با قدر مطلق 1 با ضرب؛ از نظر توپولوژیکی یک 3-کره است.	Y	0	0		یکریخت با SU(2) و Spin(3)؛ پوشش مضاعفی از SO(3)	${\displaystyle Im(\mathbb{H})}$	3
${\displaystyle GL(n,\mathbb{R})}$	گروه خطی عام: ماتریس‌های حقیقی n×n معکوس‌پذیر	N	${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$	–			${\displaystyle M(n,\mathbb{R})}$	${\displaystyle n^2}$
${\displaystyle G{L}^{+}(n,\mathbb{R})}$	ماتریس‌های حقیقی n×n با دترمینان مثبت	N	0	${\displaystyle \mathbb{Z};n=2}$   n=2 ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$  n>2		${\displaystyle G{L}^{+}(1,\mathbb{R})}$ با ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{+}}$ یکریخت بوده و همبند ساده است	M(n,${\displaystyle \mathbb{R}}$ )	n
SL(n,${\displaystyle \mathbb{R}}$ )	گروه خطی خاص: ماتریس‌های حقیقی با دترمینان 1	N	0	${\displaystyle \mathbb{Z}}$   n=2 ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$  n>2		${\displaystyle SL(1,\mathbb{R})}$ تک نقطه است و بنابراین فشرده و همبند ساده است.	sl(n,${\displaystyle \mathbb{R}}$ )	n−1
SL(2,${\displaystyle \mathbb{R}}$ )	ایزومتری‌های جهت-نگهدار نیم-صفحه پوانکاره، یکریخت با ${\displaystyle SU(1,1)}$ ، و یکریخت با ${\displaystyle Sp(2,\mathbb{R}}$ .	N	0	${\displaystyle \mathbb{Z}}$		پوشش جهانی اش هیچ نمایش وفادار متناهی بعدی ندارد.	sl(2,${\displaystyle \mathbb{R}}$ )	3
O(n)	گروه متعامد: ماتریس‌های متعامد حقیقی	Y	${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$	–		گروه متقارن کره (n=3) یا ابرکره.	so(n)	n(n−1)/2
SO(n)	گروه متعامد خاص: ماتریس‌های متعامد حقیقی با دترمینان 1	Y	0	${\displaystyle \mathbb{Z}}$   n=2 ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$  n>2	Spin(n) n>2	${\displaystyle SO(1)}$ تک نقطه است و ${\displaystyle SO(2)}$ یکریخت با گروه دایره‌ای است، ${\displaystyle SO(3)}$ نیز گروه دایره‌ای کره است.	so(n)	n(n−1)/2
Spin(n)	گروه اسپین: پوشش مضاعفی از ${\displaystyle SO(n)}$ .	Y	0 n>1	0 n>2		${\displaystyle Spin(1)}$ یکریخت با ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_2}$ بوده و همبند نیست؛ ${\displaystyle Spin(2)}$ یکریخت با گروه دایره‌ای است و همبند ساده نیست.	so(n)	n(n−1)/2
${\displaystyle sp(2n,\mathbb{R})}$	گروه سیمپلکتیک: ماتریس‌های سیمپلکتیک حقیقی	N	0	${\displaystyle \mathbb{Z}}$			${\displaystyle sp(2n,\mathbb{R})}$	n(2n+1)
Sp(n)	گروه سیمپلکتیک فشرده: ماتریس‌های یکانی چهارگانی n×n.	Y	0	0			sp(n)	n(2n+1)
${\displaystyle Mp(2n,\mathbb{R})}$	گروه متاپلکتیک: پوشش مضاعفی از گروه سیمپلکتیک حقیقی ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb{R})}$	Y	0	${\displaystyle \mathbb{Z}}$		${\displaystyle Mp(2,\mathbb{R})}$ گروه لی بوده که جبری نیست.	sp(2n,${\displaystyle \mathbb{R}}$ )	n(2n+1)
U(n)	گروه یکانی: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط.	Y	0	${\displaystyle \mathbb{Z}}$	${\displaystyle \mathbb{R}\times SU(n)}$	برای n=1: یکریخت با ${\displaystyle S^1}$ . توجه: این یک گروه/جبر لی مختلط نیست.	u(n)	${\displaystyle n^2}$
SU(n)	گروه یکانی خاص: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط با دترمینان 1.	Y	0	0		توجه: این گروه/جبر لی مختلط نیست.	su(n)	n−1