فضای برداری

یک فضای برداری ${\displaystyle (V,+,\cdot )}$

• مجموعهٔ ${\displaystyle V\ne \varnothing }$
  ناتهی است.
• عملگر جمع ${\displaystyle +:V\times V\to V}$
  یک عمل دوتایی روی دو بردار از ${\displaystyle V}$
  است.
• عملگر ضرب ${\displaystyle \cdot :F\times V\to V}$
  یک عمل دوتایی بین یک بردار از ${\displaystyle V}$
  و یک اسکالر از ${\displaystyle F}$
  است (این عمل (ضرب در اسکالر) نباید با ضرب داخلی اشتباه شود، در ضرب داخلی دو بردار در هم ضرب می‌شوند و یک اسکالر به دست می‌آید در حالی که در ضرب اسکالر، یک بردار در یک اسکالر ضرب می‌شود و یک بردار جدید به دست می‌آید).

اصول موضوعی

به ازای هر بردار ${\displaystyle v}$

قاعده			توضیح	دقیق
بیان جبر مجرد		بیان ساده
بستار		بسته نسبت به جمع	جمع ${\displaystyle v}$ و ${\displaystyle u}$ در ${\displaystyle V}$ وجود داشته باشد.	${\displaystyle v+u\in V}$
		بسته نسبت به ضرب	ضرب ${\displaystyle v}$ و ${\displaystyle a}$ در ${\displaystyle V}$ وجود داشته باشد.	${\displaystyle a\cdot v\in V}$
${\displaystyle V}$ نسبت به + گروه آبلی باشد	گروه باشد	همانی در جمع	یک عنصر همانی در ${\displaystyle V}$ وجود دارد که جمع آن با هر برداری همان بردار شود.	${\displaystyle \mathrm{\exists }0\in V:0+v=v}$
		وارون در جمع	یک عنصر وارون ${\displaystyle v}$ در ${\displaystyle V}$ وجود دارد که جمعش با ${\displaystyle v}$ برابر عنصر همانی شود.	${\displaystyle \mathrm{\exists }-v\in V:-v+v=0}$
		شرکت‌پذیری در جمع	پرانتزگذاری در جمع بی‌تأثیر باشد.	${\displaystyle (v+u)+w=v+(u+w)}$
	جابه‌جاپذیری در جمع		جابه‌جایی در جمع بی‌تأثیر باشد.	${\displaystyle v+u=u+v}$
این گروه یک ${\displaystyle F}$-مدول باشد	همانی ضرب		ضرب عنصر همانی میدان ${\displaystyle F}$ در هر برداری همان بردار شود.	${\displaystyle 1\cdot v=v}$
	توزیع‌پذیری ضرب	پخش‌پذیری اسکالر	ضرب اسکالرها در جمع بردارها پخش‌پذیر باشد.	${\displaystyle a\cdot (v+u)=a\cdot v+a\cdot u}$
		پخش‌پذیری بردار	ضرب بردارها در جمع اسکالرها پخش‌پذیر باشد.	${\displaystyle (a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v}$
	سازگاری ضرب میدان با ضرب فضای برداری		پرانتزگذاری ضرب اسکالرها و ضرب بردار در اسکالر بی‌تأثیر باشد.	${\displaystyle (a\cdot b)\cdot v=a\cdot (b\cdot v)}$

جمع و ضرب عملگر هستند و طبق تعریف عملگر، بسته بودن جزو قواعد آنها هست. در نتیجه دو قاعدهٔ ابتدایی در مورد بسته بودن تکراری است و در کتاب‌های منبع جدیدتر نوشته نمی‌شوند.

نتایج

از اصول یادشده می‌توان به نتایج زیر رسید:

• عنصر همانی یکتا است.
• وارون جمع هر برداری یکتا است.
• ${\displaystyle -v=(-1)\cdot v}$
• ${\displaystyle av=0⟺(a=0\vee v=0)}$

هرگاه ${\displaystyle V}$

در واقع داریم:

${\displaystyle S^{\circ }=\{f|f(\alpha )=0\mathrm{\forall }\alpha \in S\}}$