در جبر خطی ، زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای یک فضای برداری
V
B
=
{
v
1
,
⋯
,
v
n
}
وابستهٔ خطی گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد
v
n
∈
Span
{
v
1
,
⋯
,
v
n
−
1
}
v
n
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
n
−
1
v
n
−
1
یک مجموعه بردار مستقل خطی
اگر
B
انگلیسی : Linear Independence) دارند یا مستقل خطی هستند.
تعریف
مجموعهٔ
B
مستقل خطی می‌نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ
c
1
v
1
+
⋯
+
c
n
v
n
=
0
جواب بدیهی
c
1
=
⋯
=
c
n
=
0
در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی می‌گوییم. به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ
c
1
v
1
+
⋯
+
c
n
v
n
=
0
∃
c
i
≠
0
وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی می‌گوییم. از این رابطه می‌توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد:
v
n
=
(
c
1
v
1
+
⋯
+
c
n
−
1
v
n
−
1
)
/
c
n
از این رابطه نتیجه می‌گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد:
v
n
∈
Span
{
v
1
,
⋯
,
v
n
−
1
}
v
n
∈
Span
(
B
∖
{
v
n
}
)
نتایج و قضایا یک مجموعهٔ یک‌عضوی بردار
B
=
{
v
}
v
≠
0
یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها
B
=
{
v
1
,
v
2
}
v
1
≠
c
v
2
هر مجموعه‌ای شامل بردار صفر
0
∈
B
مجموعهٔ بردارهای
B
=
{
v
1
,
⋯
,
v
n
}
اگر و تنها اگر اندیسی مانند
k
v
k
v
k
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
k
−
1
v
k
−
1
v
k
∈
Span
{
v
1
,
⋯
,
v
k
−
1
}
برای توابع
طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می‌رسیم:
اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند
{
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
}
≠
{
0
}
F
=
{
f
1
(
x
)
,
⋯
,
f
n
(
x
)
}
b
1
f
1
+
b
2
f
2
+
⋯
+
b
n
f
n
=
0
دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع
F
=
{
f
1
(
x
)
,
⋯
,
f
n
(
x
)
}
مستقل خطی نیستند . در غیر این صورت
F
استفاده از یک قضیه اگر توابع
F
=
{
f
1
(
x
)
,
⋯
,
f
n
(
x
)
}
دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ
n
−
1
W
[
f
1
,
⋯
,
f
n
]
(
x
)
رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان می‌کند که:
توابع
F
x
0
W
[
f
1
,
⋯
,
f
n
]
(
x
0
)
≠
0
جستارهای وابسته
منابع
↑ Grant Sanderson. "Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra" . 3Blue1Brown (به انگلیسی). ↑ Linear Algebra and Its Applications . ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.↑ H., Friedberg, Stephen (2003). Linear algebra OCLC 50424308 . ↑ Prof. Vladimir Dobrushkin. "Part IV: Fundamental Set of Solutions" (به انگلیسی). ↑ Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition) . به کوشش William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade.
Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8
