عدد صحیح
عدد صحیح یا عدد درست، عددی است که می‌تواند بدون جزء کسری نوشته شود. برای مثال، ۲۱، ۴، ۰، و ۴− عدد صحیح هستند، در حالی که ۹٫۷۵، و √۲ عدد صحیح نیستند؛ مجموعه اعداد صحیح از صفر (۰)، اعداد طبیعی مثبت (۱، ۲، ۳، ...)، که همچنین اعداد شمارشی نیز گفته می‌شوند، و وارون جمعیشان (اعداد صحیح منفی، یعنی، ۱−، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است.
این مجموعه شامل اعداد مثبت و صفر و اعداد منفی است. در ریاضیات، معمولاً این مجموعه را با Z یا
شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد. در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند.
خواص جبری
همانند اعداد طبیعی،
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده‌است (در اینجا b ,a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند):
| جمع | ضرب | |
| بسته بودن: | a + b یک عدد صحیح است | a × b یک عدد صحیح است |
| شرکت‌پذیری: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
| تعویض‌پذیری: | a + b = b + a | a × b = b × a |
| وجود یک عنصر واحد: | a + 0 = a | a × ۱ = a |
| وجود یک عنصر عکس: | a + (−a) = ۰ | |
| توزیع‌پذیری: | a × (b + c) = (a × b) + (a × c) | |
| نبود مقسوم علیه‌های صفر: | اگر ab = ۰، آنگاه a = ۰ یا b = ۰ | |
مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت‌پذیری و جابه‌جایی (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ
مجموعهٔ ویژگی‌های ذکر شده حاکی از این است که faq
به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است. امّا به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است؛ یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعهٔ اعداد صحیح وجود دارد، به طوری که: a = q × b + r که در اینجا، q خارج قسمت و r باقی‌مانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبهٔ بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد،
کاردینال
کاردینال (تعداد از اعضای مجموعه) مجموعهٔ
جستارهای وابسته
- ۰٫۹۹۹…
- توابع جزء صحیح و سقف
- فهرست نمادهای ریاضی
- اعداد گویا
|
منابع
- ↑ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-01. Retrieved 2020-08-11.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-08-11.
- ↑ Miller, Jeff (2010-08-29). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Archived from the original on 2010-01-31. Retrieved 2010-09-20.
- ↑ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. p. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Archived from the original on 2016-12-08. Retrieved 2016-02-15.
- اریک تمپل بل، ریاضی‌دانان نامی. New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover; شابک ۰−۶۷۱−۴۶۴۰۰−۰)/(Paperback; شابک ۰-۶۷۱-۶۲۸۱۸-۶)
- Herstein, I.N. , Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (۲۰ ژوئن ۱۹۷۵), شابک ۰-۴۷۱-۰۱۰۹۰-۱.
- ساندرز مک لین، and Garrett Birkhoff; Algebra, American Mathematical Society; 3rd edition (1999). شابک ۰-۸۲۱۸-۱۶۴۶-۲.
- Mathworld